Механический смысл производной

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движе­ния материальной точки в данный момент времени равна произ­водной пути по времени, т. е.

Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением , то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определенный момент времени нужно найти производную и подставить в нее соответствующее значение t. Для определенности будем считать, что путь измеряется в метрах, а время — в секундах.

237

405. Путь, пройденный материальной точкой, задается следующей функцией времени: .

Найти скорость движения точки в конце 5-й секунды.

406. Точка движется прямолинейно по закону .Найти ее скорость в момент времени .

407. Найти скорость движения материальной точки в конце 3-й секунды, если движение точки задано уравнением

.

408. Точка движется прямолинейно по закону . В какой момент се скорость окажется раиной нулю?

409.Дна тела движутся прямолинейно: одно по закону  

, другое - по  закону . Определить мо­мент, когда скорости этих тел окажутся равными.

410. Высота тела, брошенного вертикально вверх, меняется в зависимости от времени по закону . Найти скорость тела в конце 10-й секунды. Сколько секунд тело будет лететь вверх и какой наибольшей высоты оно достигнет?

Подставляя это значение в уравнение движения, получим наибольшую высоту, на которую поднимается тело:

411. Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормоз­ной путь определяется формулой  — путь в метрах, t время торможения в секундах. В течение какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины? Какое расстояние пройдет машина с начала торможе­ния до полной ее остановки

412. Зенитный снаряд выброшен вертикально вверх с началь­ной скоростью v₀. Через сколько секунд снаряд достигнет наивыс­шей точки?

413.Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону . Найти кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения.

Решение. Найдем скорость движении тела в любой момент вре­мени t:

238

 

Вычислим скорость тела в момент времени t = 3:

Определим кинетическую энергию тела и момент времени t = 3:

414. Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения, если его масса равна 25 кг, а закон движения имеет вид .

Производная второго порядка и ее механический

Смысл

Производную от данной функции часто называют первой производной (или производной первого порядка). Очевидно, что производная также является функцией, и сечи она дифференци­руема, то от нее, в свою очередь, можно взять производную, которую называют второй производной (или производной второ­го порядка) и обозначают

Производной третьего порядка (или третьей производной) называют производную от второй производной. Ее обозначают

Например, для функции   имеем

Вообще, производной п-го порядка от функции . Называется производная от производной (n—1)-го порядка. Ее обозначают: . Таким образом, производную n-го порядка можно найти последовательным дифференцированием данной функции.

415—422. Найти производные второго порядка заданных функ­ций:

423 — 432. Найти производные третьего порядка заданных функций:

239

 

Рассмотрим механический смысл производной второго поряд­ка.

Пусть тело движется прямолинейно по закону . Как

известно, скорость v движения тела в данный момент времени равна производной пути по времени, т. е.

Если тело движется неравномерно, то скорость и с течением времени изменяется и за промежуток времени получает при­ращение v. В этом случае величина отношения , показываю­щая изменение скорости в единицу времени, называется сред­ним ускорением в промежутке времени от до

Пусть ; тогда , а среднее ускорение  стремится к величине, которая называется ускорением в данный момент времени t. Следовательно, ускорение движущегося тела представляет собой скорость изменения его скорости.

Обозначив ускорение через а, получим

Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.

В этом и заключается механический смысл второй произ­водной.

433. Точка движется прямолинейно но закону
 . Найти скорость и ускорение точки в момент t = 4.
Решение. Для определения скорости нужно найти первую произвольную данной функции при t =4. Имеем

Ускорение равно второй производной функции при t = 4, т. е.

Величину ускорения оказалась постоянной для любого значения t; значит, движение точки по заданному закону происходит с постоян­ным ускорением.

434. Материальная точка движется по закону
 . Найти ее ускорение в конце 3-й секунды.

435.В момент времени t тело находится на расстоянии км от места отправления. Найти его ускоре­ние через 2 ч.

240

 

 

436. Вычислить ускорение материальной точки в конце 3-й секунды, если точка движется по закону

437. Путь, пройденный клетью подъемной машины, определяется уравнением . Найти скорость и ускорение в любой момент времени.

438. Определить момент t, в который ускорение прямолиней­ного движения, совершаемого по закону , равно нулю. Какова при этом скорость?

439.Закон движения частицы определяется уравнением . Каково ускорение частицы в момент, когда ее ско­рость равна 1 м/с?

440. Точка движется вдоль оси абсцисс по закону
, где t-время о секундах, отсчитываемое от t= 0, а

х — расстояние движущейся точки от начала координат в мет­рах. Требуется: а) определить закон изменения скорости и уско­рения движения от времени t; б) найти начальную скорость и скорость в момент t=3 с; в) установить, существуют ли момен­ты времени, когда скорость равна нулю, и если да, то какие положения движущейся точки соответствуют этим моментом

Решение. а) Для определения скорости движения найдем про­изводную пули по времени:

а для определения  ускорения движения- производную скорости пи времени:

441. Тело, масса которого 30 кг движется прямолинейно по закону . Доказать, что движение тела происходит под действием постоянной силы.

Решение. Имеем . Следовательно,

, т.е. при данном законе движения тело движется с постоянным ускорением 8 м/с. Далее, так как масса тела постоянна (30 кг), то по второму закону Ньютона действующая на него сила  

— также постоянная величина.

241

442. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону . Найти силу, действующую на тело в момент времени

443.Показать, что если тело движется по закону , то его ускорение   численно равно пройденному пути.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: