Производная показательной функции

Производную показательной функции также можно найти с по­мощью логарифмического дифференцирования.

Пусть дана функция , где a> 0 и . Логарифмируя

обе части равенства по основанию е, получим . Про-

дифференцируем обе части равенства:

Откуда  или . Следовательно,

Итак, производная показательной функции равна W

изведению этой функции на натуральный логарифм основан

 Найдем производную функции . Для этого в формуле положим а=е; тогда получим   и, следовательно,

Итак, производная функции   равна самой функции

222

Производные функций найдем, применив формулу хождения производной сложной функции. В результате

производная функции , где , равна самой функции умноженной на натуральный логарифм основания и на производную промежуточного аргумента и.

Производная функции , где , равна произведе-

самой функции е ^u на производную промежуточного аргу-

Дифференцирование тригонометрических функций

Производные функций , где  

Найдем производную функции по общему правилу прохождения производной. Отметим, что функция имеет производную при любом значении аргумента х.

1⁰ Придадим аргументу х приращение ; тогда функция

получит приращение :

223

2°. Вычитая из нового значения функции первоначальное, найдем значение приращения :

Применим формулу разности синусов:

Тогда получим

3°. Находим

4°. Перейдем к пределу:

Если . Поэтому, полагая ,  получим

Но , так как функция непрерывна.

а   (первый замечательный предел). Значит,

 , т. е.

Итак, производная функции равна

Выведем формулу дифференцирования функции ,  где и — функция от х. Применяя формулу   находим

224

Итак,

318—323. Найти производные следующих функций:

225

Итак,

326. Найти производную функции

327. Найти

328. Найти производную функции

330. Найти у', если

331 — 336. Найти производные следующих функций:

226

Следовательно,

Значит,

8*                                                                        227

Дифференцирование обратных тригонометрических функций

228

Замечание. Производные функций arcsin u и arccosu отличаются только знаком.

349—352. Найти производные следующих функций:

229

Решение. Имеем

Следовательно,

358. Дано:  Решение.

230

359372. Найти производные следующих функций:

Геометрический и механический смысл производной

• 1. Геометрический смысл производной

• 2. Механический смысл производной

• 3. Производная второго порядка и ее механический смысл

• 4. Приложения производной к решению физических задач

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: