![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Задачи, приводящие к понятию производной
При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Ее решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления. 197 Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков — И. Ньютона и Г. В. Лейбница. Ньютон пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости). Как известно, равномерным движением называют такое движение, при котором тело в равные промежутки времени проходит равные по длине отрезки пути. Путь, пройденный телом в единицу времени, называют скоростью равномерного движения. Однако чаще всего на практике мы имеем дело с неравномерным движением. Автомобиль, едущий по дороге, замедляет движение у переходов и ускоряет его на тех участках, где путь свободен; самолет снижает скорость при приземлении и т. д. Поэтому чаще всего нам приходится иметь дело с тем, что за равные отрезки времени тело проходит различные по длине отрезки пути. Такое движение называют неравномерным. Иго скорость нельзя охарактеризовать одним числом. Так, например, при свободном падении тела оно за 1-ю секунду пройдет путь Часто для характеристики неравномерного движения пользуются понятием средней скорости движения за время Где Так, при свободном падении тела средняя скорость его движения за первые две секунды есть Практически такая характеристика движения, как средняя скорость, говорит о движении очень мало. Действительно, при свободном падении тела средняя скорость за 1-ю секунду равна 4, 9 м/с, а за 2-ю — 14, 7 м/с, в то время как средняя скорость за первые две секунды составляет 9, 8 м/с. Средняя скорость в течение первых двух секунд не дает никакого представления о том, как происходило движение: когда тело двигалось быстрее, когда медленнее. Если же задать средние скорости движения для каждой секунды в отдельности, то мы будем знать, например что во 2-ю секунду тело двигалось значительно быстрее, чем1-ю. Однако в большинстве случаев и такая характеристик нас мало устраивает. Ведь нетрудно понять, что в течение это 2-й секунды тело также движется по-разному: в начале медленнее, в конце быстрее. А как оно движется где-то в середине этой 2-й секунды? Иными словами, как определить мгновенную скорость? 198
Чем меньше промежуток времени Таким образом, 199
Лейбниц пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной своим уравнением. Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к ее траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на ее орбите сводится к определению направления касательной к кривой. Что же называется касательной к кривой в данной точке? Дело в том, что определение касательной как прямой, имеющей с кривой только одну общую точку, справедливое для окружности, непригодно для многих других кривых. Например. синусоида y = sinx имеет только одну общую точку с любой прямой, параллельной оси 200
Предположим, что точка М остается неподвижной, а точка перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к М. Тогда: Итак, угловой коэффициент касательной определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю: 201 Выразив угловой коэффициент касательной через значения аргументов получим 164. Дана функция ной к ее графику при х= 1. то Определение производной Заметим, что при определении касательной к кривой и мгновенной скорости неравномерного движения, по существу, выполняются одни и те же математические операции: 1°. Заданному значению аргумента дают приращение и вычисляют новое значение функции, соответствующее новому значению аргумента. 2°. Определяют приращение функции, соответствующее вы- бранному приращению аргумента. 3°. Приращение функции делят на приращение аргумента. 4°. Вычисляют предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. 202 Хотя поставленный выше вопрос кажется интуитивно ясным, тем не менее необходимо четко определить, что именно следует понимать под скоростью изменения функций в точке. Рассмотрим, например, две функции приращения, которые они получают при изменении х от 1 до 3 203 |
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-09; Просмотров: 808; Нарушение авторского права страницы