Понятие о непрерывности функции

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 15Следующая ⇒

Наглядное представление о непрерывной функции состоит в том, что график такой функции можно начертить одним непрерывным движением, не отрывая карандаша от бумаги. В противном случае имеет место графическое изображение разрывной функции. На рис. 91 изображена некоторая непрерывная функция, на рис. 92 и 93 — разрывные функции.

Непрерывное изменение переменной величины легко представить себе интуитивно. В самом деле, когда мы говорим: «Температура воды при нагревании изменяется непрерывно» — мы имеем в виду, что за достаточно малый промежуток времени температура воды изменится достаточно мало, т. е. если температуру воды рассматривать как функцию времени, то в изменении этой функции наблюдается постепенность.

Примерами непрерывных функций могут служить также раз- личные законы движения тел , выражающие зависимость

пройденного пути s от времени t. Одной из особенностей этой

186

зависимости является то, что малому приращению времени соответствует малое приращение пути, т. е. график функции изображается непрерывной линией.

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке х=х₀, если:

1) эта функция определена в точке х=х_о (т. е. опреде
ленному значению аргумента х, равному хо, соответствует
вполне определенное значение функции у, равное );

2) приращение функции в точке стремится к нулю
при , т. е.

Кратко свойство непрерывности функции можно выразить так: функция называется непрерывной в данной точке, если при . Из рис. 90 видно, что если точке М приближается по кривой к точке М, то как угодно уменьшаются, т. е. стре-

мятся к нулю, и данная функция в точке М является непрерывной.

Итак, геометрически непрерывность функции означает, что ординаты двух точек графика сколь угодно мало отличаются друг от друга, если достаточно мало отличаются их абсциссы. Поэтому график непрерывной функции представляет собой сплошную линию без разрывов.

Часто пользуются другим, равносильным приведенному, определением непрерывности функции в точке.

187

105. Исследовать на непрерывность функцию

106. Показать, что функция непрерывна при всех х.
Решение. Найдем приращение функции:

107—110. Исследовать на непрерывность функции:

Можно доказать, что каждая элементарная функция непрерывна в любой точке из ее области определения.

188

на землю. Эта скорость, вообще говоря, есть непрерывная функция времени, но в момент удара можно считать, что она мгновенно (скачком) падает до нуля, т.е. функция скорости терпит

разрыв.

Эта формула выражает очень важное для вычисления пределов правило: если функция непрерывна, то при отыскании ее предела можно вместо аргумента подставить его предельное значение.

В дальнейшем мы будем пользоваться этим приемом, поскольку он значительно упрощает вычисления предела функции.

114. Вычислить

Указанное правило вычисления пределов нельзя применять в следующих случаях:

1) если функция при не определена;

2) если знаменатель дроби при подстановке оказывается равным нулю;

3) если числитель и знаменатель дроби при подстановке
одновременно оказываются равными нулю или бесконечности.

В таких случаях пределы функций находят с помощью разумных искусственных приемов.

115. Найти

Решение. Здесь непосредственный переход к пределу невозможен поскольку предел делителя равен нулю:

предел делимого также равен нулю: . Значит, имеет неопределенность вида 0/0. Однако отсюда не следует, что данная функция не имеет предела; для его нахождения нужно предварительно преобразовать функцию, разделив числитель и знаменатель на выражение х-3:

189

116. Найти

117. Найти

190

Разделив все члены этого неравенства на положительную величину , получим

Если , то . Таким образом, переменная величина заключена между единицей и величиной, стремящейся к единице. Следовательно, и она стремится к единице, т.е.

Этот предел называют первым замечательным пределом. 118. Найти

Решение. Приведем этот предел к виду (1). Для этого числитель и знаменатель дроби умножим на 2, а постоянный множитель 2 внесем на знак предела. Имеем

191

Вычисление пределов

Сначала рассмотрим примеры непосредственного нахождения предела функции в точке.

120. Найти

Решение. Для нахождения предела данной функции заменим аргумент х его предельным значением:

121. Найти

Рассмотрим теперь такие примеры, когда применение свойств предела становится возможным лишь после некоторых предварительных преобразований.

122. Найти

Решение. Здесь пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, получим

Следовательно,

192

123. Найти

Решение. Здесь имеем неопределенность типа 0/0. Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель дроби на множители и до перехода к пределу сократим дробь _на множитель х—2. В результате получим

Итак, чтобы найти предел частного двух функций, где пределы делимого и делителя равны нулю, нужно преобразовать функцию таким образом, чтобы выделить в делимом и делителе сомножитель, предел которого равен нулю, и, сократив дробь на этот сомножитель, найти предел частного.

124. Найти .

Решение. Непосредственная подстановка х= —2 показывает, что имеет место неопределенность вида 0/0. Разложив числитель на множители и сократив дробь, находим

Здесь предел делителя равен нулю. Таким образом, знаменатель дроби неограниченно убывает и стремится к нулю, а числитель приближается к —1. Ясно, что вся дробь неограниченно растет, что условно записывается так:

125—130. Найти пределы:

Перейдем к примерам нахождения предела функции на бесконечности.

131. Найти

Решение. При имеем неопределенность вида . Чтобы

Раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель когда получим

7-1356 193

так как при

132—133. Найти пределы:

Решение. Разделив числитель и знаменатель на х⁵ и перейдя к пределу, получим

поскольку числитель последней дроби стремится к пределу, отличному от нуля, а знаменатель — к нулю.

135. Найти

Решение. При стремлении аргумента х к бесконечности имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть ее, разделим числитель

и знаменатель дроби на х. Тогда получим

так как

136. Найти

Решение. Предельный переход при всегда можно заменить

предельным переходом при , если положить способ замены

переменной).

Так, полагая в данном случае найдем, что при

Следовательно,

194

II способ. Положим ; тогда при . Значит,

138—141. Найти пределы:

Решение. Здесь требуется найти предел разности двух величин, стремящихся к бесконечности (неопределенность вида ). Умножив и разделив данное выражение на сопряженное ему, получим