Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Поставим следующий вопрос: все ли функции имеют произ­водную или только некоторые? Чтобы ответить на него, рассмот­рим функцию . Производная этой функции определяется формулой , если указанный предел существует. Для существования этого предела необходимо, чтобы  при (в противном случае будет иметь место деление на нуль, что невозможно); отмеченное условие является условием непре­рывности функции в данной точке. Отсюда вытекает следующее Утверждение.

207

 является непрерывной, то она может и не иметь водной в этой точке.

Все функции, рассматриваемые в дальнейшем, будем считать дифференцируемыми.

189. Показать, что в точке функция не имеет производной.

Решение. В точке  функция не существует, т.е. не выполняется условие непрерывности функции; значит, в этой точке функция не имеет производной.

190. Почему в точке х = 0 функция не имеет произ-
водной?

§ 4. Правила и формулы дифференцирования элементарных функций

• 1. Таблица правил и формул дифференцирования

• 2. Правила дифференцирования алгебраической суммы, произведения и частного

• 3. Правило дифференцирования сложной функции

• 4. Дифференцирование логарифмических функций

• 5. Производная степенной функции

• 6. Производная показательной функции

• 7. Дифференцирование тригонометрических функции

• 8. Дифференцирование обратных тригонометрических функций

Таблица правил и формул дифференцирования

Определение производной по формуле четко указывает действия, которые нужно выполнить для ее на­хождения, что позволяет непосредственно вычислять производ­ную любой элементарной функции. Необходимо хорошо овладеть непосредственным дифференцированием, поскольку оно позволя­ет вывести основные правила и формулы дифференцирования. Эти правила и формулы следует обязательно знать, чтобы не повторять каждый раз все выкладки при нахождении данной функции. Ведь существует бесконечное множество функций и с их услож­нением непосредственное дифференцирование становится все более трудоемким.

Поэтому целесообразно вывести формулы производных. Для основных элементарных функций (степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических и обратных тригономет­рических) и сформулировать правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций, а также правило диф ференцирования сложной функции, т. е. функции от функции.

208

Это позволит находить производные всех элементарных функций которые могут быть получены из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа операций взятия функции от функции.

Прежде чем доказывать правила и формулы дифференцирования. сведем их в таблицу и в дальнейшем будем пользоваться ею, подобно тому как в арифметике пользуются таблицей умно­жения.

209

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: