Возрастание и убывание функций

Понятие производной — одно из важнейших в математике. С помощью производной, учитывая ее механический смысл (ско­рость изменения некоторого процесса) и геометрический смысл (угловой коэффициент касательной), можно решать самые раз­нообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности. В частности, с помощью производных стало воз­можным подробное исследование функций, что позволило очень точно строить их графики, находить их наибольшие и наимень­шие значения и т. д.

Познакомимся с основными идеями, связанными с исследо­ванием функций. Для этого рассмотрим график какой-нибудь функции (рис. 109).

Интуитивно ясно, что в интервалах       данная функция возрастает, а в интервале — убывает.

255

В дальнейшем будем рассматривать только дифференцируемые функции.

Определение I. Функция называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интер­вала большему значению аргумента соответствует бот шее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

 

 

Тогда в обоих случаях отношение приращения функции к при ращению аргумента положительно, т. е. .Далее, поскольку функция   дифференцируема на рассматриваемом интервале, то, переходя к пределу при , получим , а это значит, что

Рассуждая аналогично, можно показать, что в случае убы­вания функции ее производная отрицательна, т.е.

Все вышеизложенное можно сформулировать как необходи­мый прорастания (убывания) функции.
А Теорема 1. Если дифференцируемая функция _воз­растает (убывает) в данном интервале, то производная этой
функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.

Геометрически утверждение теоремы означает, что касательные к графику возрастающей функции образуют острые углы о. с положительным направлением оси Ох или, быть может, в от­дельных точках, вроде точки М (рис. 110), касательная парал-

256

Обратное заключение также справедливо, оно выражается следующей теоремой.

9-1356                                                                  257

537. Показать, что функция в интервале

монотонно возрастают.

 

Мы установили, что интервалы возрастания или убывания функции совпадают с интервалами, в которых производная этой функции сохраняет знак. Следовательно, переход от возрастания к убыванию или обратно возможен лишь в точках, где произ­водная меняет знак. Такими точками могут служить только такие точки, в которых , а также точки разрыва.

Поэтому интервалы монотонности мы получим, если разде­лим область определения функции на части, границами которых служат те точки, в которых , и точки разрыва.

Сформулируем теперь правило нахождения интервалов моно­тонности следующих функции .

Замечание. 15. В зависимости от условий задачи правило нахождения интервалов монотонности может упрощаться.

543—563. Найти интервалы монотонности следующих функций:

258

9*                                                                         ²⁵⁹

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: