Построение графиков функций

При построении графиков функций с помощью производных полезно придерживаться такого плана:

1°. Находят область определения функции и определяют точки разрыва, если они имеются.

2°. Выясняют, не является ли функция четной или нечетной; проверяют ее на периодичность.

3°. Определяют точки пересечения графика функции с коор­динатными осями, если это возможно.

4°. Находят критические точки функции.

5°. Определяют промежутки монотонности и экстремумы функции.

6°. Определяют промежутки вогнутости и выпуклости кривой и находят точки перегиба.

7°. Используя результаты исследования, соединяют полу­ченные точки плавной кривой. Иногда для большей точ­ности графика находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой. Этот план исследования функции и построения ее графика является примерным, его не всегда надо придерживаться пунк­туально: можно менять порядок пунктов, некоторые совсем опускать, если они не подходят к данной функции. В частности, если нахождение точек пересечения с осями координат связано с большими трудностями, то это можно не делать; если выраже­ние для второй производной окажется очень сложным, то можно ограничиться построением графика на основании результатов

278

исследования первой производной; если функция четная, то ее график симметричен относительно оси Оу, поэтому достаточно построить график для положительных значений аргумента, при­надлежащих области определения функции, и т, п.

Составим таблицу:

279

Составим таблицу:

Составим таблицу:

280

Составим таблицу:

Составим таблицу:

7°. График изображен на рис. 131.

281

Составим таблицу:

6°. Находим

Составим таблицу:

282

Составим таблицу:

6°. Находим

283

Составим таблицу:

7⁰. График изображен на рис. 133.

284

6°. Находим

Очевидно, что только при ; кроме того, не существует при (напомним, что мы рассматриваем значения) .

В интервале имеем , т. е. кривая вогнута, а в интервале имеем , т. е. кривая выпукла.

Вследствие симметрии графика относительно начала координат заключаем, что в интервале и в интервале . Это означает, что (0, 0) точка перегиба.

7". График изображен на рис. 134.

650.

285

6°. Построим график, не исследуя вогнутости и выпуклости кривой. Из рис. 135 видно, что в каждом из исследуемых интервалов имеется точка перегиба. Вычислив у" и приравняв ее нулю, можно определить точное положение этих точек.

286

Вопросы и задачи для конспектирования

287

Ответы

Контрольное задание

Вариант 1

288

 

Вариант 2

Ответы

 

⇐ Предыдущая6789101112131415

Поделиться: