|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Плоское движение твердого тела.Стр 1 из 7Следующая ⇒
Плоское движение твердого тела. Уравнения плоскопараллельного движения Движение твердого тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной в рассматриваемой системе отсчета плоскости П, называется плоскопараллельным (ППД), или плоским. При ППД все точки тела, лежащие на одном перпендикуляре к неподвижной плоскости П имеют одинаковые траектории, скорости и ускорения, так как эта прямая, оставаясь всегда перпендикулярной к плоскости, движется поступательно. Следовательно, для изучения движения точек, лежащих на этом перпендикуляре, достаточно изучить движение одной из них, например точки М. Проведя аналогичные рассуждения для любой другой прямой тела, перпендикулярной плоскости П, видим, что для исследования ППД твердого тела достаточно исследовать движение точек тела, лежащих в какой-либо плоскости П1, параллельной неподвижной плоскости П. То есть достаточно изучить движение плоской фигуры S (рис. 3.12), образуемой сечением тела плоскостью П1.
Положение фигуры S в плоскости по отношению к неподвижной системе координат Oxy определяется положением какого-либо отрезка АВ (рис. 3.13), принадлежащего фигуре S. Положение же отрезка АВ задается координатами какой-либо его точки, например, точки А и углом φ , образуемым отрезком с положительным направлением оси Ox. Точка А называется в этом случае полюсом. При движении тела координаты полюса ХА, YА и угол φ изменяются. Таким образом, чтобы знать в каждый момент времени положение тела при его плоском движении достаточно задать три зависимости:
которые называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела или законом этого движения. План скоростей и его свойства Скорости точек тела можно определить графически, построением плана скоростей. Планом скоростей называется диаграмма, на которой от некоторого центра О отложены векторы скоростей всех точек тела. Пусть известны Точка О, из которой исходит пучок абсолютных скоростей, называется полюсом плана скоростей. Установим свойства и правила построения плана скоростей. По теореме о сложении скоростей (3.30) и (3.31) имеем:
Рис. 3.21 Но из треугольника аОb имеем,
или Сравнивая равенства (а) и (б) устанавливаем, что Тогда по формулам (3.31) имеем:
Откуда
Таким образом: · Каждый из отрезков, соединяющих вершины плана скоростей, геометрически равен вращательной скорости соответствующей точки фигуры вокруг другой точки как вокруг полюса и по модулю пропорциональны этим отрезкам · Отрезки, соединяющие концы векторов на плане скоростей, перпендикулярны отрезкам, соединяющим соответствующие точки тела, и по модулю пропорциональны этим отрезкам · Фигуры, обозначенные на плане скоростей и в сечении (S) тела одинаковыми буквами будут при этом подобны и повернуты относительно другой на 90˚. План скоростей плоского механизма строится как совокупность планов скоростей отдельных его звеньев, причем все векторы скоростей откладываются от общего полюса О в одном масштабе. Планом скоростей механизма называют графическое построение, представляющее собой плоский пучок, лучи которого изображают абсолютные скорости точек звена, а отрезки, соединяющие концы лучей, изображают относительные скорости соответствующих точек в данном положении звена. Отметим основные свойства плана скоростей механизма: 1. векторы абсолютных скоростей точек выходят из полюса плана скоростей; 2. векторы относительных скоростей точек одного и того же звена изображаются отрезками, соединяющими концы векторов абсолютных скоростей; 3. отрезки прямых линий (треугольники или многоугольники), соединяющие точки одного звена на плане механизма, и отрезки прямых линий, соединяющих концы векторов скоростей этих точек на плане скоростей, образуют подобные и сходственно расположенные фигуры; 4. фигура на плане скоростей повернута относительно подобной фигуры механизма на 90° по направлению его угловой скорости; 5. порядок букв при обходе в одном направлении контуров неизменяемой фигуры и ее плана скоростей одинаков. При этом обход надо начинать с одной и той же буквы. Эти свойства дают возможность определить скорость любой точки звена, если известны скорости двух точек этого звена. Рассмотрим пример построения плана скоростей.
Рис. 3.22 Решение: 1) Выбрав масштаб длин (например: в 1 см на рисунке изображено 0, 1 м размера звена), изображаем механизм в данном положении (рис. 3.22, а). 2) Определение скорости 3) Определение скорости
Так как АВ = ВС, то откладывая на продолжении аb отрезок bс = аb, находим точку с. Соединив точки О и с, получим вектор 4) Определение скорости Мгновенный центр скоростей Точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей (МЦС). Покажем, что если угловая скорость плоской фигуры не равна нулю (ω ≠ 0), то такая точка существует. Действительно, пусть в данный момент скорость точки А фигуры равна
где
Так как вектор Рис. 3.23 Рис. 3.24 Если положение МЦС в данный момент времени известно, то, приняв его за полюс, получим следующие выражения для определения скоростей точек плоской фигуры (рис. 3.24):
или
или Таким образом, скорость любой точки плоской фигуры численно равна произведению угловой скорости фигуры на длину отрезка, соединяющего точку с МЦС, и направлена перпендикулярно этому отрезку в сторону вращения фигуры. Из уравнений (3.33) следует, что
В реальных механизмах при произвольных положениях звеньев определение расстояний до МЦС приводит к громоздким вычислениям. Поэтому в практических расчетах эти расстояния определяют графически по чертежу механизма, выполненному в масштабе. МЦС очевидно, может лежать вне плоской фигуры. Однако в этом случае считается, что он принадлежит фигуре, так как с последней мы мысленно связываем нематериальную плоскость и считаем размеры фигуры неограниченными. Таким образом: · для определения МЦС надо знать только направление скоростей каких-нибудь 2-х точек А и В сечении тела (или траекторию этих точек), так как МЦС находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках А и В к скоростям в этих точках (или касательным к траектории); · для определения скорости какой-нибудь точки тела надо знать модуль и направление скорости одной точки А тела и направление скорости другой точки; · угловая скорость тела как видно из (3.34) равна в каждый момент времени отношению скорости какой-нибудь точки сечения S к ее расстоянию до МЦС (точка P). Рассмотрим частные случаи определения положения МЦС. 1) Заданы скорость какой-либо фигуры и ее угловая скорость. Данный случай рассматривался при доказательстве существования МЦС. Кратко повторим рассуждения. Проведем из точки А (рис. 3.24) луч, перпендикулярный к заданному вектору скорости 2) Заданы направления скоростей двух точек плоской фигуры, скажем точек А и В, причем скорость точки А не параллельна скорости точки В. Поэтому точка пересечения перпендикуляров к скоростям точек А и В и будет являться МЦС (рис. 3.24). 3) Заданы скорости двух точек 4) Если скорости точек А и В равны между собой и перпендикулярны АВ (рис. 3.26, а), то МЦС находится в бесконечности. В данный момент угловая скорость фигуры равна нулю (
Рис. 3.25 Рис. 3.26 5) Заданы только направления скоростей двух точек А и В плоской фигуры. Причем они параллельны друг другу, но не перпендикулярны отрезку АВ (рис. 3.26, б) Проведя перпендикуляры к заданным направлениям скоростей в точках А и В, находим, что мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности. Следовательно, угловая скорость фигуры равна нулю ( Термин «мгновенно поступательное движение» является условным, так как в общем случае движения плоской фигуры равенство скоростей ее точек в фиксированный момент времени не означает равенства ускорений этих точек, а равенство нулю угловой скорости фигуры не означает равенства нулю ее углового ускорения. 6) Рис. 3.27 является МЦС.
Пример. Колесо радиусом R катится без скольжения по прямому рельсу. Скорость центра колеса в рассматриваемый момент времени vС = 4 м/сек. Определить скорости точек О, А, В и D колеса, расположенных на концах взаимно перпендикулярных диаметров (рис. 3.28, а). Решение. 1-й вариант. Примем за полюс центр колеса С (рис. 3.28, б). Тогда скорость любой точки колеса будет равна геометрической сумме скоростей полюса и скорости вращения этой точки вокруг полюса (3.30). Так как колесо катится без скольжения, то скорость точки О касания колеса с рельсом равна нулю vO = 0. Точка О является мгновенным центром скоростей. В этой точке скорость вращения вокруг полюса Расстояния от точек О, А, В и D до полюса С равны. Следовательно, и вращательные скорости точек вокруг полюса тоже равны, то есть
Откладывая в каждой точке скорость полюса
Рис. 3.28 2-й вариант. Примем мгновенный центр скоростей колеса Р за полюс. Тогда скорости всех точек колеса определятся как вращательные скорости вокруг мгновенного центра скоростей. Модули скоростей всех точек найдутся по свойству пропорциональности скоростей их расстояниям от мгновенного центра скоростей
Так как
Найденные скорости точек направлены перпендикулярно соответствующим отрезкам в сторону вращения колеса (рис. 3.28, в). Аналогичное распределение скоростей имеет место при качении колеса без скольжения по любой поверхности. 3-й вариант. Графическое решение представлено на рис.3.28, г. Где, используя свойства плана скоростей, построен план скоростей, с помощью которого легко определяются скорости указанных точек.
Вопросы для повторения 1. Какое движение твердого тела называется плоскопараллельным? 2. Какими уравнениями задается плоскопараллельное движение? 3. Зависят ли поступательное перемещение плоской фигуры и ее вращение от выбора полюса? 4. Как по уравнениям движения плоской фигуры найти скорость полюса и угловую скорость? 5. Как связаны между собой скорость произвольной точки плоской фигуры и скорость ее точки, принятой за полюс? 6. Чему равна и как направлена скорость 7. Какая из точек А и В плоской фигуры имеет большую скорость, если угол между 8. Что называется мгновенным центром скоростей плоской фигуры и как он определяется в различных случаях? 9. Где находится мгновенный центр скоростей плоской фигуры, совершающей мгновенно поступательное движение? 10. Каков закон распределения скоростей точек плоской фигуры относительно ее мгновенного центра скоростей? 11. Какая точка колеса, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности, имеет наибольшую скорость? 12. Как направлена скорость точки В плоской фигуры относительно прямой АВ, если скорость точки А перпендикулярна этой прямой? 13. Чему равна скорость точки В плоской фигуры, если скорость вращения этой точки вокруг полюса А векторно равна скорости точки А? Мгновенный центр ускорений При непоступательном движении твердого тела в его сечении ( S) в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ). Определяется положение центра Q, если известно ускорение 1) вычисляем величину угла 2) от точки А под углом 3) откладываем вдоль линии АЕ отрезок AQ, равный
Построенная таким путем точка Q и будет мгновенным центром ускорений (МЦУ). В самом деле, по формулам (3.37) и (3.38) заключаем, что · ускорение любой точки тела равно ее ускорению во вращательном движении вокруг МЦУ, а
· при этом
то есть ускорения точек тела пропорциональны их расстояниям до МЦУ (рис. 3.33) · МЦУ и МЦС – являются различными точками сечения (S) фигуры. Например, колесо катится без скольжения по прямолинейному пути (рис. 3.34), причем скорость его центра постоянна (
Решение. Так как точка С, как показано выше, в данном случае является мгновенным центром ускорений – МЦУ, а мгновенный центр скоростей Рис. 3.34 находится в точке Р, То для колеса По формуле (3.41) находим План ускорений и его свойства Планом ускорений звена плоского механизма называется графическое построение, представляющее собой плоский пучок, лучи которого изображают абсолютные ускорения точек звена, а отрезки, соединяющие концы лучей, изображают относительные ускорения соответствующих точек в данном положении звена. Совокупность планов ускорений звеньев с одним общим полюсом и одним масштабом называется планом ускорения механизма . Основные свойства плана ускорений: 1) векторы абсолютных ускорений точек фигуры выходят из полюса плана ускорений; 2) векторы относительных ускорений точек фигуры изображаются отрезками, соединяющими концы векторов абсолютных ускорений; 3) фигура на плане ускорений (отрезок, прямоугольник, многоугольник и др.), образуемая относительными ускорениями, подобна одноименной фигуре на движущемся неизменяемом теле и повернута относительно последнего на угол (180°-µ) по направлению углового ускорения вращения тела; 4) порядок букв при обходе по контурам одноименных фигур, как на плане ускорений, так и на неизменяемой фигуре, одинаковый. При этом обход надо начинать от одной и той же буквы и производить в одном и том же направлении, как на плане ускорений, так и неизменяемой фигуре. Рассмотрим пример построения плана ускорений. Определим ускорения точек В, С и D фигуры АВС (рис. 3.35, а), если известны ускорение Построим фигуру АВС (рис. 3.35, а)
То есть, вектор ускорения Здесь и далее вектор, известный по величине и направлению, подчеркнут двумя линиями, а вектор, известный по величине или направлению, подчеркнут одной линией, под которой указано это направление. Решим графически уравнение (3.43) с помощью плана ускорений при условии, что линия действия вектора ускорения К концу п этого вектора прикладываем вектор касательного ускорения Ускорение точки С определим с помощью свойства подобия фигур тела и плана ускорений. Для этого на стороне аb плана ускорений строим треугольник аbс, подобный треугольнику АВС, и в таком же положении, чтобы обход по контурам этих треугольников был в одном направлении (рис. 3.35, в). Для построения треугольника аbс, подобного АВС, использовано равенство углов. Соединив полюс π с точкой с, получим вектор Определим ускорение точки D, с помощью свойства подобия. Точка D лежит на пересечении медиан треугольника АВС (рис. 3.35, а). Следовательно, в одноименном треугольнике abc плана ускорений точка d лежит также на пересечении медиан последнего. Проведем медианы треугольника аbc (рис. 3.35, г). Соединим полюс π с точкой d пересечения медиан, получим вектор С помощью вектора
где π b – отрезок, взятый с плана ускорений, λ a – масштаб ускорений.
Рис. 3.35. Определение ускорений точек фигуры АВС а) фигура АВС; б) определение ускорения точки В; в) определение ускорения точки С; г) определение ускорения точки Д При определении направления углового ускорения, вектор Пример. Определить ускорения точек А, В, С, D и угловые ускорения звеньев механизма для положения, изображенного на чертеже (рис. 3.36, а), если кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью ω 1. Кривошип О1В соединен шарниром с серединой шатуна АС. Решение: 1) Выбрав масштаб длин λ L=…мм/м. (например, если 1 мм чертежа фигуры содержит 0, 1 м длины реальной фигуры, то λ L=10 мм/м), изображаем механизм в данном положении (рис. 3.36, а). 2) Определение скоростей точек А, В, С и D. Определим скорость точки А по величине и направлению. Так как кривошип вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через неподвижную точку О, то модуль скорости точки А равен vА=ω 1ОА и направлен вектор скорости перпендикулярно ОА в сторону направления угловой скорости ω 1. Построим план скоростей (см. пример п. 3.4.6) в выбранном масштабе по скорости λ v=…мм/мс-1 (например, если один мм плана скоростей содержит скорость 0, 5 м/с, то λ v=2мм/мс-1). Измерим на плане скоростей (рис. 3.36, б) отрезки Оb, Ос, Оd, аb и определим модули скоростей точек В, С, D, угловую скорость ω 2 тела АВСD и угловую скорость ω 3 звена О1В по формулам:
3) Определение 4. Определение
Рис. 3.36 С другой стороны точка В так же принадлежит звену О1В, которое совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О1, а ускорение точки В соответственно будет равно
Приравнивая правые части полученных выражений, имеем
Выразим это равенство графически. К вектору Теперь от точки π откладываем вектор Одновременно из построения следует, что 1) Определение угловых ускорений звеньев. Измерив длины отрезков пb и κ b найдем угловые ускорения звеньев по формулам
Из планов скоростей и ускорений видим, что векторы скорости 2) Определение
Отложим от точки b отрезок 3) Определение
Вопросы для повторения 1. Ускорение какой точки плоской фигуры можно найти по уравнениям ее движения? 2. Как определяется ускорение любой точки плоской фигуры? 3. Чему равны и как направлены составляющие 4. Какие существуют методы решения уравнения 5. Как направлено ускорение точки В, если угловая скорость постоянна, а ускорение полюса А направлено по прямой АВ? 6. Как направлено ускорение точки В, если плоская фигура совершает мгновенно поступательное движение, а ускорение точки А, перпендикулярно прямой АВ? 7. Что можно сказать об угловой скорости плоской фигуры, если ускорение точки А равно нулю, а ускорение точки В направлено вдоль прямой АВ? 3.5.* Сферическое движение твердого тела Рассмотрим движение твердого тела, одна из точек которого остается неподвижной. При таком движении все другие точки тела движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с неподвижной точкой. Такое движение твердого тела называют сферическим. Для определения положения тела в каждый момент времени проведем через его неподвижную точку две системы координат: неподвижную Oхуz с началом в точке О и подвижную Оξ η ζ , жестко связанную с телом и началом в той же точке О (рис. 3.37). OJ – линия пересечения подвижной и неподвижной систем координат, называется линией узлов.
При сферическом движении тела углы φ, ψ, θ непрерывно меняются во времени, то есть являются функциями времени Рис. 3.37 Эти равенства называются уравнениями или законом движения тела вокруг неподвижной точки (сферического движения твердого тела). Положения твердого тела в пространстве определяется положением 3-х его точек не лежащих на одной прямой. Действительно 2 точки определяют некоторую ось, а третья точка – положение тела по отношению к этой оси. Следовательно, положение твердого тела можно определить положением 2-х его точек не лежащих на одной прямой с неподвижной точкой. С помощью теоремы Даламбера - Эйлера можно представить себе картину движения тела. Примем ее без доказательства. Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку можно переместить из одного положения в любое другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку. Следовательно, в каждый момент времени скорости из точек одной из прямых тела равны нулю, то его движение в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг этой прямой, проходящей через неподвижную точку и называемую мгновенной осью вращения. Положение мгновенной оси вращения с течением времени непрерывно меняется как в теле, так и в неподвижном пространстве. Угловая скорость этого вращения называется мгновенной угловой скоростью. Ее вектор откладывается вдоль мгновенной оси вращения в ту сторону, откуда мы видим вращение, происходящим против хода часовой стрелки.
где Рис. 3.38 вектор рассматриваемой точки М относительно неподвижной точки О тела (рис. 3.38). Модуль скорости равен
где h – расстояние от точки М тела до мгновенной оси вращения ОР. Из-за непрерывного изменения положения оси ОР это расстояние будет переменным. 3.6.* Общий случай движения свободного твердого тела Чтобы в общем случае определить положение свободного твердого тела в пространстве относительно неподвижной системы координат Охуz, свяжем с произвольной точкой А тела, в дальнейшем называемой полюсом, подвижную систему координат Ах1у1z1, которая перемещается поступательно и оси которой остаются параллельными осям неподвижной системы координат Охуz. Положение подвижной системы относительно неподвижной определяется положением ее начала, полюса А, то есть тремя координатами: хА, уА, zА. Относительно подвижной системы Ах1у1z1 тело совершает сферическое движение (в этой системе точка А неподвижна), и его относительное движение определяется тремя углами Эйлера. Таким образом, шесть равенств определяющих положение полюса А и положение тела относительно подвижной системы координат в каждый момент времени. Поэтому эти равенства называются уравнениями движения свободного твердого тела . Если бы в процессе движения углы ψ, θ и φ оставались неизменными, то тело перемещалось бы поступательно в соответствии с тремя первыми уравнениями системы (3.47). Если бы полюс А тела оставался неподвижным, то тело двигалось бы вокруг неподвижной точки А согласно трем последним уравнениям системы (3.47). В действительности же в общем случае движения твердого тела меняется как положение полюса, так и углы Эйлера. Поэтому мы можем сказать, что в общем случае движение твердого тела в каждый момент времени слагается из поступательного движения, при котором все точки движутся со скоростями Для радиуса вектора произвольной точки В относительно неподвижной точки О в каждый момент времени справедлива зависимость (рис. 3.39)
Продифференцировав это равенство по времени, получим
Здесь Рис. 3.39 Таким образом, мы получили формулу, определяющую скорость произвольной точки В в общем случае движения твердого тела:
Примеры движения свободного твердого тела: брошенный камень, самолет, проделывающий фигуры высшего пилотажа, артиллерийский снаряд, и т.д. Сложное движение точки Ускорение Кориолиса Ускорением Кориолиса называется составляющая абсолютного ускорения точки в ее сложном движении, равная удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки:
Появление поворотного ускорения обусловлено двумя причинами: 1) вследствие относительного движения точки, перемещающейся по отношению к подвижной системе отсчета, изменяется переносная скорость точки; 2) вследствие враща-тельного переносного движения дополнитель-но изменяется направление относительной скорости по отношению к неподвижной системе отсчета. Например, если человек движется равномерно вдоль радиуса платформы вращающейся с постоянной угловой скоростью, то его относительной скоростью является скорость его движения вдоль радиуса, а переносной – скорость той точки платформы, где человек находится в данный момент (рис. 3.41). Пусть в момент t человек занимает положение М, а в момент t + Δ t – положение М1. Так как относительное движение равномерное и прямолинейное, то относительное ускорение человека равно нулю. Однако, благодаря вращению платформы, за время Δ t относительная скорость изменяется по направлению от
до Рис. 3.41 изменения Модуль ускорения Кориолиса (3.63) определяется как модуль векторного произведения
Ускорение Кориолиса равно нулю в трех случаях: 1. если Рис. 3.42 2. если относительного покоя точки или в моменты времени, когда относительная скорость обращается в нуль; 3. если
Направление вектора ускорения Кориолиса можно определить по Рис. 3.43 правилу Жуковского (рис. 3.43): для определения направления вектора ускорения Кориолиса необходимо вектор Для иллюстрации правила Жуковского рассмотрим пример. Предположим, что диск вращается вокруг оси, перпендикулярной его плоскости, по часовой стрелке с угловой скоростью
Рис. 3.44 Таким образом, при плоском относительном движении, когда траектория точки плоская кривая, вектор относительной скорости Вопросы для повторения 1. Что называется абсолютным и относительным движениями точки, переносным движением? 2. Какая связь существует между абсолютной, переносной и относительной скоростями точки? 3. Как связаны переносная и относительная скорости точки, которая покоится относительно неподвижной системы координат? 4. Как определяется абсолютное ускорение точки при ее сложном движении? 5. Как определяется кориолисово ускорение? В каких случаях оно равно нулю? Приведите примеры, реализующие эти случаи? 6. Точка движется по ободу диска, вращающегося вокруг оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости. Какая из составляющих абсолютного ускорения точки может быть направлена по радиусу его центра? В каком случае? 7. Точка равномерно движется по радиусу диска, равномерно вращающегося вокруг оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости. Зависит ли величина кориолисова ускорения точки от ее положения на диске? 8. Стержень АВС вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку В, а по стержню от А к С равномерно движется точка М. Чему равно и как направлено ускорение точки, когда она находится в точке В стержня? 9. По образующей цилиндра, равномерно вращающегося вокруг своей оси, равномерно движется точка. Чему равно и как направлено ее абсолютное ускорение? Плоское движение твердого тела. |
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-09; Просмотров: 576; Нарушение авторского права страницы
Рис. 3.12 Рис. 3.13
, (3.24)
, 
, 
- скорости точек А, В, С тела (рис. 3.21, а). Тогда соответствующий план скоростей получим, отложив от некоторого центра О (рис. 3.21, б) в выбранном масштабе отрезки 
, 
, 
. 
, (а)
где 
, 
.
. (б) 
; аналогично найдем 
; 
и т.д.
и 
, 
и 
, 
и 
. 
(3.32)
.
, 
.
Пример: Построить план скоростей механизма (рис. 3.22, а) для положения, изображенного на чертеже, если скорость 
конца кривошипа ОА известна. Кривошип О1В соединен шарниром с серединой шатуна АС.
. Выбираем масштаб скоростей (например, 1 см на плане изображает скорость 0, 5 м/с) и откладываем в этом масштабе от некоторого центра О вектор 
(скорость точки 
), а из точки а прямую 
до пересечения с линией Оb. Тогда согласно (б) точка b и даст конец вектора 
. Точка С механизма лежит на прямой АВС. Следовательно, по свойству подобия точка с на плане скоростей должна лежать на прямой аbс. При этом согласно (3.32)
.
. Из точки а проводим прямую перпендикулярную АD, а из точки с – прямую перпендикулярную СD. Пересечение этих перпендикуляров дает, согласно (б) точку d. Соединяя точки О и d, находим вектор 
. 
и фигура вращается с угловой скоростью ω . Проведем луч А N, перпендикулярный вектору 
и определим скорость полученной точки Р, выбрав за полюс точку А: 
, 
.
перпендикулярен АР и направлен в сторону вращения фигуры, то 
. Тогда 
, то есть точка Р фигуры является в данный момент времени ее МЦС, что и требовалось доказать. Очевидно, что эта точка единственная. При наличии второй точки с нулевой скоростью, фигура в данный момент была бы неподвижна и скорости всех ее точек равнялись бы нулю, что противоречит исходным предпосылкам.
, 
, (3.33)
, 
и т.д.
, (3.34)
. (3.35)
. Полученная точка Р и будет МЦС.
плоской фигуры, причем они параллельны между собой и перпендикулярны отрезку АВ (рис. 3.25). Проведем прямую линию через концы векторов скоростей. Тогда точка Р пересечения этой прямой с прямой АВ и будет МЦС.
). Следовательно, тело совершает мгновенно поступательное движение и скорости всех его точек в данный момент равны между собой.
Если тело А катится без скольжения по неподвижному основанию В (рис. 3.27), то точки их контакта имеют одинаковые скорости. А поскольку основание В неподвижно, то скорость точки 
= 0, тогда скорость точки контакта тела А также имеет скорость 
и скорость полюса 
равны по модулю и противоположны по направлению, то есть 
= - 
.
= 
= 
= 
= 
.
м/сек, 
м/сек, 
м/сек.
м/сек.
, то
66 м/сек, 
м/сек.
в равенстве 
? 
и прямой АВ равен 45°, а угол между 
и прямой АВ равен 15°? 
какой-нибудь точки тела и величины 
, следующим образом: 
по формуле 
, 
. (3.40)
Рис. 3.32 Рис. 3.33
, (3.41)
, (3.42 )
). Тогда мгновенный центр скоростей колеса находится в точке Р ( 
= 0) – в точке касания с землей. Мгновенный центр ускорений в этом случае, очевидно, находится в точке С, так как она движется равномерно и прямолинейно и 
. Центры скоростей и ускорения совпадают тогда, когда тело вращается вокруг неподвижной оси.
Пример. Колесо катится по прямолинейному рельсу так, что скорость его центра постоянна 
. Следовательно, ускорения любой точки обода колеса (в том числе и точки Р) равны и направлены к центру С колеса, так как угол μ = 0. Но ускорение точки М не будет нормальным ускорением. Так как скорость точки М направлена перпендикулярно РМ, то касательная Мτ к траектории точки М направлена вдоль МD, а главная нормаль Мп – вдоль МР. Поэтому 
.
точки А и линия действия ускорения 
точки В.
. (3.43)
, точки В фигуры, совершающей плоскопараллельное движение, равен геометрической сумме векторов: ускорения 
от вращения точки В вместе с телом вокруг полюса А.
, изображающий ускорение 
. К концу этого вектора (к точке а) согласно уравнению (3.43) прикладываем вектор, изображающий ускорение 
в том же масштабе. Модуль вектора равен 
, а угловая скорость ω АВ, уже определена планом скоростей (см. пример п. 3.4.6).
. Так как модуль этого вектора не известен, то через точку п проводим только линию действия этого вектора (линию, перпендикулярную к АВ на фигуре АВС). А через полюс π проведем линию действия вектора 
и будет изображать ускорение 
по АВ от точки В к точке А. 
, который и будет изображать ускорение 
точки С.
, который и будет изображать ускорение 
точки D.
можно определить значение и направление углового ускорения ε плоской фигуры
или 
, 
, изображающий слагаемое 
в уравнении (3.43), мысленно перенесем с плана ускорений параллельно самому себе в точку В на плоской фигуре. Тогда видно, что угловое ускорение ε направлено против хода часовой стрелки при вращении фигуры вокруг полюса А.
, 
, 
, 
, 
.
. Так как кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью ω 1, то ускорение 
= 0, а ускорение точки А будет равно только нормальной составляющей ускорения 
. Определим величину ускорения точки А по формуле 
. Выбрав масштаб ускорений λ а =…мм/мс-2 (например, 1 мм плана ускорений содержит 10 м/с 2, то λ а =0, 1 мм/мс-2), отложим в этом масштабе от некоторого центра π вектор 
, направленный по ОА от точки А.
.
.
= 
.
= 
( 
и где-то на ней должен лежать конец искомого вектора 
.
= 
( 
. Конец вектора 
. Измерив длину π b и учитывая масштаб, найдем в нашем случае, что 
.
и 
.
и 
.
точки В и ускорения 
направлены в противоположные стороны. Следовательно, звено О1В движется замедленно. Сравнивая направления векторов скорости 
и ускорения 
. Используя свойство подобия фигур АВС на механизме и авс плане ускорений определим положение точки с на плане ускорений из условия пропорциональности
.
. Тогда, соединив точку с с центром плана ускорений π, получим ускорение 
. Модуль ускорения точки С определим с учетом масштаба ускорения, измерив отрезок π с, получим 
.
. Используя свойство равенства углов подобных фигур, на плане ускорений построим фигуру аbсd подобную фигуре АВСD механизма. Соединив точку d с центром плана ускорений π , получим ускорение. Модуль ускорения точки D определим по формуле
.
и 
в равенстве 
= 
+ 
? 
+ 
- называется углом прецессии; 
φ - угол собственного вращения; 
- угол нутации.
Углы φ, ψ, θ - называются углами Эйлера, эти названия заимствованы из астрономии.
. (3.44) 
Скорости точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, определяются формулой Эйлера 
, (3.45)
- вектор мгновенной угловой скорости, 
- радиус-
, (3.46)
(3.47)
произвольно выбранного полюса А, и из вращения с мгновенной угловой скоростью 
вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через полюс А.
, 
где 
- радиус-вектор полюса А, а 
- постоянный по модулю радиус-вектор точки В относительно полюса А
.
- скорость точки В, 
- скорость полюса А, 
- скорость точки В тела при его вращении вокруг мгновенной оси.
. (3.48)
. (3.63)
до 
.
За это же время Δ t происходит изменение модуля переносной скорости от 
, благодаря относитель-ному перемещению человека из точки М в точку М1. Указанные 
и 
вызывают появление ускорения Кориолиса.
= 2 
. (3.64)
, то есть в случае поступательного переносного движения или в моменты времени, когда угловая скорость непоступательного переносного движения обращается в нуль; 
, то есть в случае
, то есть когда векторы 
и 
параллельны, то есть относительная скорость точки параллельна оси переносного вращения, как например, при движении точки М вдоль образующей вращающегося цилиндра (рис. 3.42).
Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения. По этому правилу (рис. 3.43) вектор 
направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы 
и 
так, чтобы видеть поворот вектора 
к 
происходящим против хода часовой стрелки.
спроектировать на плоскость, перпендикулярную вектору 
и повернуть проекцию в сторону вращения на 90°. 
.
Так как точка движется в плоскости диска, перпендикулярной его оси вращения, то 
и модуль поворотного ускорения равен ак=2ω еvr. Направление поворотного ускорения 
получаем, повернув в плоскости диска вектор 
по часовой стрелке на 90○ .
перпендикулярен вектору угловой переносной скорости 
. Тогда направление ускорения Кориолиса 
можно определить, повернув вектор относительной скорости 
на 900 в сторону переносного вращения.