Мгновенный центр ускорений

При непоступательном движении твердого тела в его сечении ( S) в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ).

Определяется положение центра Q, если известно ускорение  какой-нибудь точки тела и величины , следующим образом:

1) вычисляем величину угла  по формуле ,

2) от точки А под углом  к вектору  проводим прямую АЕ (рис. 3.32); при этом прямая должна быть отклонена от  в сторону вращения, если вращение ускоренное и против вращения, если оно замедленное,

3) откладываем вдоль линии АЕ отрезок AQ, равный

                            .                (3.40)

 

 

Рис. 3.32                         Рис. 3.33

Построенная таким путем точка Q и будет мгновенным центром ускорений (МЦУ). В самом деле, по формулам (3.37) и (3.38) заключаем, что

· ускорение любой точки тела равно ее ускорению во вращательном движении вокруг МЦУ, а

,                      (3.41)

· при этом  

,           (3.42 )

то есть ускорения точек тела пропорциональны их расстояниям до МЦУ (рис. 3.33)

· МЦУ и МЦС – являются различными точками сечения (S) фигуры. Например, колесо катится без скольжения по прямолинейному пути (рис. 3.34), причем скорость его центра постоянна ( ). Тогда мгновенный центр скоростей колеса находится в точке Р ( = 0) – в точке касания с землей. Мгновенный центр ускорений в этом случае, очевидно, находится в точке С, так как она движется равномерно и прямолинейно и . Центры скоростей и ускорения совпадают тогда, когда тело вращается вокруг неподвижной оси.

Пример. Колесо катится по прямолинейному рельсу так, что скорость его центра постоянна . Определить ускорение точки М обода колеса (рис. 3.34).

Решение. Так как точка С, как показано выше, в данном случае является мгновенным центром ускорений – МЦУ, а мгновенный центр скоростей  

    Рис. 3.34           находится в точке Р, То для колеса

По формуле (3.41) находим . Следовательно, ускорения любой точки обода колеса (в том числе и точки Р) равны и направлены к центру С колеса, так как угол μ = 0. Но ускорение точки М не будет нормальным ускорением. Так как скорость точки М направлена перпендикулярно РМ, то касательная Мτ  к траектории точки М направлена вдоль МD, а главная нормаль Мп – вдоль МР. Поэтому .

План ускорений и его свойства

Планом ускорений звена плоского механизма называется графическое построение, представляющее собой плоский пучок, лучи которого изображают абсолютные ускорения точек звена, а отрезки, соединяющие концы лучей, изображают относительные ускорения соответствующих точек в данном положении звена. Совокупность планов ускорений звеньев с одним общим полюсом и одним масштабом называется планом ускорения механизма .

Основные свойства плана ускорений:

1) векторы абсолютных ускорений точек фигуры выходят из полюса плана ускорений;

2) векторы относительных ускорений точек фигуры изображаются отрезками, соединяющими концы векторов абсолютных ускорений;

3) фигура на плане ускорений (отрезок, прямоугольник, многоугольник и др.), образуемая относительными ускорениями, подобна одноименной фигуре на движущемся неизменяемом теле и повернута относительно последнего на угол (180°-µ) по направлению углового ускорения вращения тела;

4) порядок букв при обходе по контурам одноименных фигур, как на плане ускорений, так и на неизменяемой фигуре, одинаковый. При этом обход надо начинать от одной и той же буквы и производить в одном и том же направлении, как на плане ускорений, так и неизменяемой фигуре.

Рассмотрим пример построения плана ускорений. Определим ускорения точек В, С и D фигуры АВС (рис. 3.35, а), если известны ускорение  точки А и линия действия ускорения  точки В.

Построим фигуру АВС (рис. 3.35, а) в выбранном масштабе длин λ _L. Определим ускорение точки В, проведя графическое решение уравнения, выражающего теорему о сложении ускорений точки тела, совершающего плоскопараллельное движение

.                             (3.43)

То есть, вектор ускорения , точки В фигуры, совершающей плоскопараллельное движение, равен геометрической сумме векторов: ускорения  точки А, принятой за полюс, и ускорения  от вращения точки В вместе с телом вокруг полюса А.

Здесь и далее вектор, известный по величине и направлению, подчеркнут двумя линиями, а вектор, известный по величине или направлению, подчеркнут одной линией, под которой указано это направление.

Решим графически уравнение (3.43) с помощью плана ускорений при условии, что линия действия вектора ускорения точки В известна. Для этого из произвольно выбранного полюса π (рис. 3.35, б) отложим в выбранном масштабе ускорений λ _а  вектор , изображающий ускорение . К концу этого вектора (к точке а) согласно уравнению (3.43) прикладываем вектор, изображающий ускорение  в том же масштабе. Модуль вектора равен , а угловая скорость ω _АВ, уже определена планом скоростей (см. пример п. 3.4.6).

К концу  п этого вектора прикладываем вектор касательного ускорения . Так как модуль этого вектора не известен, то через точку п проводим только линию действия этого вектора (линию, перпендикулярную к АВ на фигуре АВС). А через полюс π  проведем линию действия вектора . Точку пересечения линий действия названных векторов обозначим буквой b. После этого соединим точки а и b, а так же полюс π с точкой b. Вектор  и будет изображать ускорение точки В. Направлен вектор нормального ускорения  по АВ от точки В к точке А.

Ускорение точки С определим с помощью свойства подобия фигур тела и плана ускорений. Для этого на стороне аb плана ускорений строим треугольник аbс, подобный треугольнику АВС, и в таком же положении, чтобы обход по контурам этих треугольников был в одном направлении (рис. 3.35, в). Для построения треугольника аbс, подобного АВС, использовано равенство углов. Соединив полюс π с точкой с, получим вектор , который и будет изображать ускорение  точки С.

Определим ускорение точки D, с помощью свойства подобия. Точка D лежит на пересечении медиан треугольника АВС (рис. 3.35, а). Следовательно, в одноименном треугольнике abc плана ускорений точка d лежит также на пересечении медиан последнего. Проведем медианы треугольника аbc  (рис. 3.35, г). Соединим полюс π с точкой d пересечения медиан, получим вектор , который и будет изображать ускорение   точки D.

С помощью вектора  можно определить значение и направление углового ускорения ε плоской фигуры

или ,

где π b – отрезок, взятый с плана ускорений, λ _a – масштаб ускорений.

 

Рис. 3.35. Определение ускорений точек фигуры АВС

а) фигура АВС; б) определение ускорения точки В;

в) определение ускорения точки С; г) определение ускорения точки Д

При определении направления углового ускорения, вектор , изображающий слагаемое  в уравнении (3.43), мысленно перенесем с плана ускорений параллельно самому себе в точку В на плоской фигуре. Тогда видно, что угловое ускорение ε направлено против хода часовой стрелки при вращении фигуры вокруг полюса А.

Пример. Определить ускорения точек А, В, С, D и угловые ускорения звеньев механизма для положения, изображенного на чертеже (рис. 3.36, а), если кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью ω ₁. Кривошип О₁В соединен шарниром с серединой шатуна АС.

 Решение: 1) Выбрав масштаб длин λ _L=…мм/м. (например, если 1 мм чертежа фигуры содержит 0, 1 м длины реальной фигуры, то  λ _L=10 мм/м), изображаем механизм в данном положении (рис. 3.36, а).

2) Определение скоростей точек А, В, С и D. Определим скорость точки А по величине и направлению. Так как кривошип вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через неподвижную точку О, то модуль скорости точки А равен v_А=ω ₁ОА и направлен вектор скорости перпендикулярно ОА в сторону направления угловой скорости ω ₁. Построим план скоростей (см. пример п. 3.4.6) в выбранном масштабе по скорости λ _v=…мм/мс^-1 (например, если один мм плана скоростей содержит скорость 0, 5 м/с, то λ _v=2мм/мс^-1). Измерим на плане скоростей  (рис. 3.36, б) отрезки Оb, Ос, Оd, аb и определим модули скоростей точек В, С, D, угловую скорость ω ₂ тела АВСD и угловую скорость ω ₃ звена О₁В по формулам:

, , ,

, .

 3) Определение . При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси ускорение точки А равно . Так как кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью ω ₁,  то ускорение = 0, а ускорение точки А будет равно только нормальной составляющей ускорения . Определим величину ускорения точки А по формуле . Выбрав масштаб ускорений λ _а =…мм/мс^-2 (например, 1 мм  плана ускорений содержит 10 м/с ², то  λ _а =0, 1 мм/мс^-2), отложим в этом масштабе от некоторого центра π вектор , направленный по ОА от точки А.

4. Определение . Точка В механизма принадлежит звену АВСD, совершающему плоскопараллельное движение. Следовательно, по теореме о сложении ускорений (3.43), если за полюс взять точку А, ускорение которой известно, ускорение точки В будет равно

.

Рис. 3.36

С другой стороны точка В так же принадлежит звену О₁В, которое совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О₁, а ускорение точки В соответственно будет равно

.

Приравнивая правые части полученных выражений, имеем

= .

Выразим это равенство графически. К вектору  от точки а на плане ускорений откладываем в выбранном масштабе вектор = ( ║ ВА и направлен от точки В к точке А) и от точки п проводим прямую пb, перпендикулярную ап. Эта прямая дает направление  и где-то на ней должен лежать конец искомого вектора .

Теперь от точки π откладываем вектор =   ( ||ВО₁) и проводим перпендикулярную к нему прямую κ b, дающую направление . Конец вектора  должен лежать и на этой прямой. Следовательно, точка b пересечения линий пb и κ b и дает конец вектора . Таким образом = . Измерив длину π b и учитывая масштаб, найдем в нашем случае, что .

Одновременно из построения следует, что  и .

1) Определение угловых ускорений звеньев. Измерив длины отрезков пb и κ b найдем угловые ускорения звеньев по формулам

и .

Из планов скоростей и ускорений видим, что векторы скорости  точки В и ускорения  направлены в противоположные стороны. Следовательно, звено О₁В движется замедленно. Сравнивая направления векторов скорости  и ускорения , видим, что они тоже направлены в противоположные стороны. Следовательно звено АВСD тоже движется замедленно. 

2) Определение . Используя свойство подобия фигур АВС на механизме и авс плане ускорений определим положение точки с на плане ускорений из условия пропорциональности

.

Отложим от точки b отрезок . Тогда, соединив точку с с центром плана ускорений π, получим ускорение . Модуль ускорения точки С определим с учетом масштаба ускорения, измерив отрезок π с, получим .

3) Определение . Используя свойство равенства углов подобных фигур, на плане ускорений построим фигуру аbсd подобную фигуре АВСD механизма. Соединив точку d с центром плана ускорений π , получим ускорение. Модуль ускорения точки D определим по формуле

.

Вопросы для повторения

1. Ускорение какой точки плоской фигуры можно найти по уравнениям ее движения?

2. Как определяется ускорение любой точки плоской фигуры?

3. Чему равны и как направлены составляющие  и  в равенстве = + + ?

4. Какие существуют методы решения уравнения = + + ?

5. Как направлено ускорение точки В, если угловая скорость постоянна, а ускорение полюса А направлено по прямой АВ?

6. Как направлено ускорение точки В, если плоская фигура совершает мгновенно поступательное движение, а ускорение точки А, перпендикулярно прямой АВ?

7. Что можно сказать об угловой скорости плоской фигуры, если ускорение точки А равно нулю, а ускорение точки В направлено вдоль прямой АВ?

3.5.* Сферическое движение твердого тела

Рассмотрим движение твердого тела, одна из точек которого остается неподвижной. При таком движении все другие точки тела движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с неподвижной точкой. Такое движение твердого тела называют сферическим.

Для определения положения тела в каждый момент времени проведем через его неподвижную точку две системы координат: неподвижную Oхуz с началом в точке О и подвижную Оξ η ζ , жестко связанную с телом и началом в той же точке О (рис. 3.37).

OJ – линия пересечения подвижной и неподвижной систем координат, называется линией узлов.

- называется углом прецессии;

φ - угол собственного вращения;

- угол нутации.

Углы φ, ψ, θ - называются углами Эйлера, эти названия заимствованы из астрономии.

При сферическом движении тела углы φ, ψ, θ непрерывно меняются во времени, то есть являются функциями времени

 Рис. 3.37                           .       (3.44)                     

Эти равенства называются уравнениями или законом движения тела вокруг неподвижной точки (сферического движения твердого тела).

Положения твердого тела в пространстве определяется положением 3-х его точек не лежащих на одной прямой. Действительно 2 точки определяют некоторую ось, а третья точка – положение тела по отношению к этой оси. Следовательно, положение твердого тела можно определить положением 2-х его точек не лежащих на одной прямой с неподвижной точкой.

С помощью теоремы Даламбера - Эйлера можно представить себе картину движения тела. Примем ее без доказательства.

Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку можно переместить из одного положения в любое другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку.

Следовательно, в каждый момент времени скорости из точек одной из прямых тела равны нулю, то его движение в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг этой прямой, проходящей через неподвижную точку и называемую мгновенной осью вращения. Положение мгновенной оси вращения с течением времени непрерывно меняется как в теле, так и в неподвижном пространстве. Угловая скорость этого вращения называется мгновенной угловой скоростью. Ее вектор откладывается вдоль мгновенной оси вращения в ту сторону, откуда мы видим вращение, происходящим против хода часовой стрелки.

Скорости точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, определяются формулой Эйлера  

,        (3.45)

 где  - вектор мгновенной угловой скорости, - радиус-

       Рис. 3.38              вектор рассматриваемой точки М относительно неподвижной точки О тела (рис. 3.38).

Модуль скорости равен

,                           (3.46)

где h – расстояние от точки М тела до мгновенной оси вращения ОР. Из-за непрерывного изменения положения оси ОР это расстояние будет переменным.

3.6.* Общий случай движения свободного твердого тела

Чтобы в общем случае определить положение свободного твердого тела в пространстве относительно неподвижной системы координат Охуz, свяжем с произвольной точкой А тела, в дальнейшем называемой полюсом, подвижную систему координат Ах₁у₁z_1,  которая перемещается поступательно и оси которой остаются параллельными осям неподвижной системы координат Охуz. Положение подвижной системы относительно неподвижной определяется положением ее начала, полюса А, то есть тремя координатами: х_А, у_А, z_А. Относительно подвижной системы Ах₁у₁z₁  тело совершает сферическое движение (в этой системе точка А неподвижна), и его относительное движение определяется тремя углами Эйлера. Таким образом, шесть равенств

                    

                    (3.47)

определяющих положение полюса А и положение тела относительно подвижной системы координат в каждый момент времени. Поэтому эти равенства называются уравнениями движения свободного твердого тела .

Если бы в процессе движения углы ψ, θ и φ оставались неизменными, то тело перемещалось бы поступательно в соответствии с тремя первыми уравнениями системы (3.47). Если бы полюс А тела оставался неподвижным, то тело двигалось бы вокруг неподвижной точки А согласно трем последним уравнениям системы (3.47). В действительности же в общем случае движения твердого тела меняется как положение полюса, так и углы Эйлера. Поэтому мы можем сказать, что в общем случае движение твердого тела в каждый момент времени слагается из поступательного движения, при котором все точки движутся со скоростями  произвольно выбранного полюса А, и из вращения с мгновенной угловой скоростью  вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через полюс А.

Для радиуса вектора произвольной точки В относительно неподвижной точки О в каждый момент времени справедлива зависимость (рис. 3.39)

,

где  - радиус-вектор полюса А, а - постоянный по модулю радиус-вектор точки В относительно полюса А

Продифференцировав это равенство по времени, получим

.

Здесь  - скорость точки В, - скорость полюса А,

Рис. 3.39             - скорость точки В тела при его вращении вокруг мгновенной оси.

Таким образом, мы получили формулу, определяющую скорость произвольной точки В в общем случае движения твердого тела:

.           (3.48)

Примеры движения свободного твердого тела: брошенный камень, самолет, проделывающий фигуры высшего пилотажа, артиллерийский снаряд, и т.д.

Сложное движение точки

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: