Определение траектории точек тела

Рассмотрим точку М тела, положение которой в сечении S определяется расстоянием АМ от полюса А и углом  (рис. 3.16). Если движение тела задано уравнениями (3.24), то координаты х и у точки М в осях Охуz будут:

,         (3.25)

где Х_А, Y_А, φ – известные по уравнениям (3.24) функции времени t.

Равенства (3.25) определяют закон движения точки М в плоскости Оху, дают одновременно уравнение траектории этой точки в параметрическом виде. Уравнение траектории в обычном виде можно получить из (3.25) решив

      Рис. 3.16                      их совместно, исключив из системы уравнений время t.

3.4.5. Определение скоростей точек тела

Угловую скорость и угловое ускорение при плоском движении твердого тела можно представить в виде векторов, расположенных вдоль подвижной оси,             перпендикулярной плоскости движения и проходящей через выбранный полюс (рис. 3.17). Вектор угловой скорости направлен в ту сторону, откуда мы видим вращение тела, происходящим против хода часовой стрелки. Его модуль равен

.       (3.26)

При ускоренном вращении вектор углового ускорения  направлен в ту же сторону, что и вектор угловой скорости , при замедленном - в противоположную.

       Рис. 3.17         Его модуль равен

.                     (3.27)

Перейдем теперь к изучению движения отдельных точек тела, то есть к изучению их траекторий, скоростей и ускорений.

Дифференцированием по времени уравнений плоскопараллельного движения (3.24) определяются только скорость полюса А и угловая скорость тела:

, , , .   (3.28)                

Чтобы при помощи этих уравнений определить скорость любой точки плоской фигуры, рассмотрим движение ее произвольной точки В (рис. 3.18), положение которой в каждый момент времени по отношению к неподвижной системе отсчета Oxyz определяется радиус-вектором

,                     (3.29)

где  - радиус-вектор полюса А, а  - радиус-вектор точки В, - радиус-вектор точки В  относительно полюса А. Вектор    является вектором постоянного модуля, так как расстояние между точками А и В твердого тела в процессе движения остается неизменным; этот вектор вращается вместе с телом вокруг подвижной оси, перпендикулярной плоскости движения фигуры, с угловой

Рис. 3.18      скоростью ω .

Взяв производную по времени от последнего равенства, получим

.

В этом выражении - скорость полюса А. Производная вектора постоянного модуля по времени определяется по формуле Эйлера и обозначается как :

.

В соответствии с правилом векторного произведения вектор  лежит в плоскости фигуры. Он перпендикулярен отрезку АВ и направлен в сторону вращения плоской фигуры. Модуль вектора  равен . Вектор  определяет скорость точки В, которую эта точка имела бы при неподвижном полюсе А, то есть при вращении фигуры вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω . Окончательно, для определения скорости произвольной точки плоской фигуры получаем формулу

 ,     (3.30)

где                    

 , .    (3.31)

Таким образом, мы доказали теорему о сложении скоростей: скорость любой точки тела при его

Рис. 3.19    плоскопараллельном движении равна   векторной сумме скорости полюса и скорости данной точки при ее вращении вместе с телом вокруг полюса.

Направление и величина  находится по правилу параллелограмма (рис. 3.19). Для этого по формулам (3.28) находят скорость полюса  и угловую скорость тела ω . Затем по формулам (3.31) определяют скорость . Откладывая из точки В по величине и направлению векторы скоростей  и  строят параллелограмм для определения величины и направления искомой скорости . 

Рис. 3.20

Следствие 1. Проекции скоростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки равны друг другу.

Докажем это. Рассмотрим какие-нибудь две точки А и М твердого тела его в ППД (рис. 3.20, а).

Принимая точку А  за полюс и используя теорему о сложении скоростей (3.30), запишем: . Проектируя это уравнение на ось (рис. 3.20, а), получим , так как . Этот результат позволяет легко находить скорость точки тела, если известны направление движения этой точки и величина и направление скорости какой-нибудь точки того же тела.

Следствие 2. Концы векторов скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими точками отрезка  (рис. 3.20, б, в). Примем без доказательства (см. [1.-5]).

План скоростей и его свойства

Скорости точек тела можно определить графически, построением плана скоростей. Планом скоростей называется диаграмма, на которой от некоторого центра О отложены векторы скоростей всех точек тела.

Пусть известны , ,  - скорости точек А, В, С тела (рис. 3.21, а). Тогда соответствующий план скоростей получим, отложив от некоторого центра О (рис. 3.21, б) в выбранном масштабе отрезки , , .

Точка О, из которой исходит пучок абсолютных скоростей, называется полюсом плана скоростей.

Установим свойства и правила построения плана скоростей. По теореме о сложении скоростей (3.30) и (3.31) имеем:

,                                  (а)

где , .

Рис. 3.21

Но из треугольника аОb имеем,

или                                 

.                             (б)             

Сравнивая равенства (а) и (б) устанавливаем, что ; аналогично найдем  ;  и т.д.

Тогда по формулам (3.31) имеем:

и ,     

и ,

и . 

Откуда

             (3.32)

Таким образом:

· Каждый из отрезков, соединяющих вершины плана скоростей, геометрически равен вращательной скорости соответствующей точки фигуры вокруг другой точки как вокруг полюса и по модулю пропорциональны этим отрезкам .

· Отрезки, соединяющие концы векторов на плане скоростей, перпендикулярны отрезкам, соединяющим соответствующие точки тела, и по модулю пропорциональны этим отрезкам , .

· Фигуры, обозначенные на плане скоростей и в сечении (S) тела одинаковыми буквами будут при этом    подобны и повернуты относительно другой на 90˚.

План скоростей плоского механизма строится как совокупность планов скоростей отдельных его звеньев, причем все векторы скоростей откладываются от общего полюса О в одном масштабе.

Планом скоростей механизма называют графическое построение, представляющее собой плоский пучок, лучи которого изображают абсолютные скорости точек звена, а отрезки, соединяющие концы лучей, изображают относительные скорости соответствующих точек в данном положении звена.

Отметим основные свойства плана скоростей механизма:

1. векторы абсолютных скоростей точек выходят из полюса плана скоростей;

2. векторы относительных скоростей точек одного и того же звена изображаются отрезками, соединяющими концы векторов абсолютных скоростей;

3. отрезки прямых линий (треугольники или многоугольники), соединяющие точки одного звена на плане механизма, и отрезки прямых линий, соединяющих концы векторов скоростей этих точек на плане скоростей, образуют подобные и сходственно расположенные фигуры;

4. фигура на плане скоростей повернута относительно подобной фигуры механизма на 90° по направлению его угловой скорости;

5. порядок букв при обходе в одном направлении контуров неизменяемой фигуры и ее плана скоростей одинаков. При этом обход надо начинать с одной и той же буквы.

 Эти свойства дают возможность определить скорость любой точки звена, если известны скорости двух точек этого звена. Рассмотрим пример построения плана скоростей.

Пример: Построить план скоростей механизма (рис. 3.22, а) для положения, изображенного на чертеже, если скорость  конца кривошипа ОА известна. Кривошип О₁В соединен шарниром с серединой шатуна АС.

Рис. 3.22

Решение:

1) Выбрав масштаб длин (например: в 1 см на рисунке изображено  0, 1 м размера звена), изображаем механизм в данном положении (рис. 3.22, а).

2) Определение скорости . Выбираем масштаб скоростей (например, 1 см на плане изображает скорость 0, 5 м/с) и откладываем в этом масштабе от некоторого центра О вектор , направленный перпендикулярно к ОА (рис. 3.22, б). Из того же центра проводим прямую  (скорость точки ), а из точки а прямую  до пересечения с линией Оb. Тогда согласно (б) точка b и даст конец вектора . 

3) Определение скорости . Точка С механизма лежит на прямой АВС. Следовательно, по свойству подобия точка с на плане скоростей должна лежать на прямой аbс. При этом согласно (3.32)

.

Так как АВ = ВС, то откладывая на продолжении аb отрезок  bс = аb, находим точку с. Соединив точки О и с, получим вектор .

4) Определение скорости . Из точки а проводим прямую перпендикулярную АD, а из точки с – прямую перпендикулярную СD. Пересечение этих перпендикуляров дает, согласно (б) точку d. Соединяя точки О и d, находим вектор . 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: