Мгновенный центр скоростей

Точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей (МЦС).

Покажем, что если угловая скорость плоской фигуры не равна нулю (ω ≠ 0), то такая точка существует. Действительно, пусть в данный момент скорость точки А фигуры равна  и фигура вращается с угловой скоростью ω . Проведем луч А N, перпендикулярный вектору , в направлении, соответствующем направлению вращения (рис. 3.23). Отложим на этом луче отрезок    и определим скорость полученной точки Р, выбрав за полюс точку А:

,

 где        

.

Так как вектор  перпендикулярен АР и направлен в сторону вращения фигуры, то . Тогда , то есть точка Р фигуры является в данный момент времени ее МЦС, что и требовалось доказать. Очевидно, что эта точка единственная. При наличии второй точки с нулевой скоростью, фигура в данный момент была бы неподвижна и скорости всех ее точек равнялись бы нулю, что противоречит исходным предпосылкам.

         

Рис. 3.23                             Рис. 3.24

Если положение МЦС в данный момент времени известно, то, приняв его за полюс, получим следующие выражения для определения скоростей точек плоской фигуры (рис. 3.24):

,

или 

,               (3.33)

,

или 

               и т.д.

Таким образом, скорость любой точки плоской фигуры численно равна произведению угловой скорости фигуры на длину отрезка, соединяющего точку с МЦС, и направлена перпендикулярно этому отрезку в сторону вращения фигуры.

 Из уравнений (3.33) следует, что

,                        (3.34)

                  .                             (3.35)

В реальных механизмах при произвольных положениях звеньев определение расстояний до МЦС приводит к громоздким вычислениям. Поэтому в практических расчетах эти расстояния определяют графически по чертежу механизма, выполненному в масштабе.

МЦС очевидно, может лежать вне плоской фигуры. Однако в этом случае считается, что он принадлежит фигуре, так как с последней мы мысленно связываем нематериальную плоскость и считаем размеры фигуры неограниченными.

Таким образом:

· для определения МЦС надо знать только направление скоростей каких-нибудь 2-х точек А и В сечении тела (или траекторию этих точек), так как МЦС находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках А и В к скоростям в этих точках (или касательным к траектории);

· для определения скорости какой-нибудь точки тела надо знать модуль и направление скорости одной точки А тела и направление скорости другой точки;

· угловая скорость тела как видно из (3.34) равна в каждый момент времени отношению скорости какой-нибудь точки сечения S к ее расстоянию до МЦС (точка P). 

Рассмотрим частные случаи определения положения МЦС.

1) Заданы скорость какой-либо фигуры и ее угловая скорость. Данный случай рассматривался при доказательстве существования МЦС. Кратко повторим рассуждения. Проведем из точки А (рис. 3.24) луч, перпендикулярный к заданному вектору скорости  в направлении, соответствующем направлению вращения, и отложим на этом луче отрезок . Полученная точка Р и будет МЦС.

2) Заданы направления скоростей двух точек плоской фигуры, скажем точек А и В, причем скорость точки А не параллельна скорости точки В. Поэтому точка пересечения перпендикуляров к скоростям точек А и В и будет являться МЦС (рис. 3.24).

3) Заданы скорости двух точек и  плоской фигуры, причем они параллельны между собой и перпендикулярны отрезку АВ (рис. 3.25). Проведем прямую линию через концы векторов скоростей. Тогда точка Р пересечения этой прямой с прямой АВ и будет МЦС.

4) Если скорости точек А и В равны между собой и перпендикулярны АВ (рис. 3.26, а), то МЦС находится в бесконечности. В данный момент угловая скорость фигуры равна нулю ( ). Следовательно, тело совершает мгновенно поступательное движение и скорости всех его точек в данный момент равны между собой.

Рис. 3.25                                          Рис. 3.26

5) Заданы только направления скоростей двух точек А и В плоской фигуры. Причем они параллельны друг другу, но не перпендикулярны отрезку АВ (рис. 3.26, б) Проведя перпендикуляры к заданным направлениям скоростей в точках А и В, находим, что мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности. Следовательно, угловая скорость фигуры равна нулю ( ), а тело совершает мгновенно поступательное движение. Таким образом, скорости всех его точек в данный момент времени равны между собой.

Термин «мгновенно поступательное движение» является условным, так как в общем случае движения плоской фигуры равенство скоростей ее точек в фиксированный момент времени не означает равенства ускорений этих точек, а равенство нулю угловой скорости фигуры не означает равенства нулю ее углового ускорения.                                 

6) Если тело А катится без скольжения по неподвижному основанию В (рис. 3.27), то точки их контакта имеют одинаковые скорости. А поскольку основание В неподвижно, то скорость точки = 0, тогда скорость точки  контакта тела А также имеет скорость = 0. То есть точка контакта тела А с неподвижной плоскостью 

          Рис. 3.27                 является МЦС.

            

Пример. Колесо радиусом R катится без скольжения по прямому рельсу. Скорость центра колеса в рассматриваемый момент времени v_С = 4 м/сек. Определить скорости точек О, А, В и D колеса, расположенных на концах взаимно перпендикулярных диаметров (рис. 3.28, а).

Решение. 1-й вариант. Примем за полюс центр колеса С (рис. 3.28, б). Тогда скорость любой точки колеса будет равна геометрической сумме скоростей полюса и скорости вращения этой точки вокруг полюса (3.30). Так как колесо катится без скольжения, то скорость точки О касания колеса с рельсом равна нулю v_O = 0.

Точка О является мгновенным центром скоростей. В этой точке скорость вращения вокруг полюса и скорость полюса  равны по модулю и противоположны по направлению, то есть = - .

Расстояния от точек О, А, В и D до полюса С равны. Следовательно, и вращательные скорости точек вокруг полюса тоже равны, то есть                

= = = = .

Откладывая в каждой точке скорость полюса  и вращательную скорость, перпендикулярную соответствующему радиусу колеса, находим:

м/сек,

 м/сек,

 м/сек.

 

Рис. 3.28

2-й вариант. Примем мгновенный центр скоростей колеса Р за полюс. Тогда скорости всех точек колеса определятся как вращательные скорости вокруг мгновенного центра скоростей. Модули скоростей всех точек найдутся по свойству пропорциональности скоростей их расстояниям от мгновенного центра скоростей 

 м/сек.

Так как , то

66 м/сек,

м/сек.

Найденные скорости точек направлены перпендикулярно соответствующим отрезкам в сторону вращения колеса (рис. 3.28, в). Аналогичное распределение скоростей имеет место при качении колеса без скольжения по любой поверхности.

3-й вариант. Графическое решение представлено на рис.3.28, г. Где, используя свойства плана скоростей, построен план скоростей, с помощью которого легко определяются скорости указанных точек.

 

Вопросы для повторения

1. Какое движение твердого тела называется плоскопараллельным?

2. Какими уравнениями задается плоскопараллельное движение?

3. Зависят ли поступательное перемещение плоской фигуры и ее вращение от выбора полюса?

4. Как по уравнениям движения плоской фигуры найти скорость полюса и угловую скорость?

5. Как связаны между собой скорость произвольной точки плоской фигуры и скорость ее точки, принятой за полюс?

6. Чему равна и как направлена скорость  в равенстве ?

7. Какая из точек А и В плоской фигуры имеет большую скорость, если угол между  и прямой АВ равен 45°, а угол между  и прямой АВ равен 15°?

8. Что называется мгновенным центром скоростей плоской фигуры и как он определяется в различных случаях?

9. Где находится мгновенный центр скоростей плоской фигуры, совершающей мгновенно поступательное движение?

10. Каков закон распределения скоростей точек плоской фигуры относительно ее мгновенного центра скоростей?

11. Какая точка колеса, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности, имеет наибольшую скорость?

12. Как направлена скорость точки В плоской фигуры относительно прямой АВ, если скорость точки А перпендикулярна этой прямой?

13. Чему равна скорость точки В плоской фигуры, если скорость вращения этой точки вокруг полюса А векторно равна скорости точки А?

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: