Теорема о сложении скоростей

Пусть тело А совершает свободное движение. Тогда переносное движение является сложным, представляющим собой совокупность поступательного движения подвижной системы координат вместе с точкой О (полюсом) и сферического движения вокруг этого полюса с угловой скоростью ω _е и угловым ускорением ε _е вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс О.

Абсолютную скорость точки М можно определить, дифференцируя уравнение (3.51) по времени t:

.                          (3.52)

Так как вектор  (рис. 3.40) определен в подвижной системе координат, а - единичные векторы, постоянные по модулю и вращающиеся вокруг мгновенной оси то, воспользовавшись известной из векторной алгебры формулой, получим:

,                               (3.53)

где: - угловая скорость подвижной системы координат,

 - .

Следовательно,  - является относительной скоростью,

Обозначив в (3.52) через  скорость полюса О и подставив в него выражение (3.53), получим:

.                  (3.54)

Для определения переносной скорости положим в (3.54) , получим                                       

                  .                   (3.55)

Из (3.55) следует, что переносная скорость точки М состоит из скорости полюса О и вращательной скорости точки вокруг мгновенной оси вращения.

На этом основании формула (3.54) принимает вид

                       .                       (3.56) 

 Таким образом, мы доказали теорему о сложении скоростей:

 Абсолютная скорость точки в сложном движении равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

Эту теорему называют правилом параллелограмма или треугольника скоростей.

Следовательно, абсолютная скорость точки  определяется диагональю параллелограмма, построен-ного на переносной скорости  и относительной скорости ,  ее модуль можно вычислить по формуле:

.         (3.57)

3.7.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Для определения абсолютного ускорения в случае непоступательного переносного движения воспользуемся выражением (3.54) абсолютной скорости в этом движении и продифференцируем его по времени t:

,      (3.58)

где:  - абсолютное ускорение точки,

 - ускорение полюса О,

 = ,

,

 - относительное ускорение точки.

Тогда, подставив эти выражения в уравнение (3.58) и приводя в нем подобные члены, получим:   

,

где  - переносное ускорение точки, связанной с подвижной системой отсчета и совпадающей в данный момент с движущейся точкой М. В рассматриваемом случае такой точкой является точка М твердого тела. Ускорение этой точки состоит из ускорения полюса , вращательного (касательного) ускорения  и осестремительного (нормального) ускорения .

                       (3.59).

Здесь   - поворотное ускорение точки (ускорение Кориолиса )

Таким образом, установили, что

.                   (3.60)

Это равенство выражает теорему Кориолиса (1792-1843) о сложении ускорений в случае непоступательного переносного движения. Теорема формулируется так:

 В случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение точки в ее сложном движении равно геометрической сумме переносного, относительного и поворотного ускорений.

 Таким образом, абсолютное ускорение определяется замыкающей стороной многоугольника ускорений.       

В случае поступательного переносного движения, когда ω _е = 0 и ε _е = 0, скорости и ускорения всех точек, неизменно связанных с подвижной системой отсчета, в каждый момент времени геометрически равны. Поэтому переносное ускорение точки М равно ускорению полюса, то есть , а так как , то формула (3.63) принимает вид

.                           (3.61)

Полученный результат является следствием теоремы Кориолиса и формулируется так:

 В случае поступательного переносного движения абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме ее переносного и относительного ускорений.

А модуль ускорения можно вычислить по формуле:

.          (3.62)

Относительное ускорение  расположено в соприкасающейся плоскости траектории относительного движения, а переносное ускорение - в плоскости, которая параллельна соприкасающейся плоскости траектории полюса О.

Ускорение Кориолиса

Ускорением Кориолиса называется составляющая абсолютного ускорения точки в ее сложном движении, равная удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки:

.                   (3.63)

Появление поворотного ускорения обусловлено двумя причинами:

1) вследствие относительного движения точки, перемещающейся по отношению к подвижной системе отсчета, изменяется переносная скорость точки;

2) вследствие враща-тельного переносного движения дополнитель-но изменяется направление относительной скорости по отношению к неподвижной системе отсчета.

 Например, если человек движется равномерно вдоль радиуса платформы вращающейся с постоянной угловой скоростью, то его относительной скоростью является скорость его движения вдоль радиуса, а переносной – скорость той точки платформы, где человек находится в данный момент (рис. 3.41).

Пусть в момент t человек занимает положение М, а в момент t + Δ t – положение М₁.

Так как относительное движение равномерное и прямолинейное, то относительное ускорение человека равно нулю. Однако, благодаря вращению платформы, за время Δ t относительная скорость изменяется по направлению от до .

За это же время Δ t происходит изменение модуля переносной скорости от  

     

до , благодаря относитель-ному перемещению человека из точки М в точку М₁. Указанные   

            Рис. 3.41                   изменения и  вызывают появление ускорения Кориолиса.

Модуль ускорения Кориолиса (3.63) определяется как модуль векторного произведения

 = 2 .   (3.64)

Ускорение Кориолиса равно нулю в трех случаях:

1. если , то есть в случае поступательного переносного движения или в моменты времени, когда угловая скорость непоступательного переносного движения обращается в нуль;

Рис. 3.42        2. если , то есть в случае

относительного покоя точки или в моменты времени, когда относительная скорость обращается в нуль;

3. если , то есть когда векторы   и   параллельны, то есть относительная скорость точки параллельна оси переносного вращения, как например, при движении точки М вдоль образующей вращающегося цилиндра (рис. 3.42).

Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения. По этому правилу (рис. 3.43) вектор  направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и   так, чтобы видеть поворот вектора   к  происходящим против хода часовой стрелки.

Направление вектора ускорения Кориолиса можно определить по   

    Рис. 3.43              правилу Жуковского (рис. 3.43): для определения направления вектора ускорения Кориолиса необходимо вектор  спроектировать на плоскость, перпендикулярную вектору  и повернуть проекцию в сторону вращения на 90^°.

Для иллюстрации правила Жуковского рассмотрим пример. Предположим, что диск вращается вокруг оси, перпендикулярной его плоскости, по часовой стрелке с угловой скоростью , а по хорде диска KL движется точка М (рис. 3.44). Определим модуль и направление поворотного ускорения точки М в положении, указанном на рисунке, если относительная скорость точки в этот момент равна .

Так как точка движется в плоскости диска, перпендикулярной его оси вращения, то  и модуль поворотного ускорения равен а_к=2ω _еv_r. Направление поворотного ускорения  получаем, повернув в плоскости диска вектор  по часовой стрелке на 90^○ .

  Рис. 3.44          Таким образом, при плоском относительном движении, когда траектория точки плоская кривая, вектор относительной скорости  перпендикулярен вектору угловой переносной скорости . Тогда направление ускорения Кориолиса  можно определить, повернув вектор относительной скорости  на 90⁰ в сторону переносного вращения.

Вопросы для повторения

1. Что называется абсолютным и относительным движениями точки, переносным движением?

2. Какая связь существует между абсолютной, переносной и относительной скоростями точки?

3. Как связаны переносная и относительная скорости точки, которая покоится относительно неподвижной системы координат?

4. Как определяется абсолютное ускорение точки при ее сложном движении?

5. Как определяется кориолисово ускорение? В каких случаях оно равно нулю? Приведите примеры, реализующие эти случаи?

6. Точка движется по ободу диска, вращающегося вокруг оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости. Какая из составляющих абсолютного ускорения точки может быть направлена по радиусу его центра? В каком случае?

7. Точка равномерно движется по радиусу диска, равномерно вращающегося вокруг оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости. Зависит ли величина кориолисова ускорения точки от ее положения на диске?

8. Стержень АВС вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку В, а по стержню от А к С равномерно движется точка М. Чему равно и как направлено ускорение точки, когда она находится в точке В стержня?

9. По образующей цилиндра, равномерно вращающегося вокруг своей оси, равномерно движется точка. Чему равно и как направлено ее абсолютное ускорение?  

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться: