И ТЕОРИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

 

§ 16. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

 

Законы распределения случайных величин и их числовых харак­теристик устанавливаются на основе опыта, эксперимента. Разработ­кой методов регистрации, описания и анализа статистических экспе­риментальных данных занимается специальная наука — математиче­ская статистика, которая решает следующие типичные для нее задачи.

1. На практике всегда приходится иметь дело с ограниченным чис­лом наблюдений. Возникает вопрос о том, какие черты наблюдаемого явления относятся к устойчивым, присущим ему, а какие являются случайными и проявляются в данной серии наблюдений только из-за ограниченного объема экспериментальных данных. В связи с этим возникает задача определения закона распределения случайной ве­личины, по возможности свободного от всего несущественного, свя­занного с недостаточным объемом опытного материала.

Могут возникнуть, например, вопросы: согласуются ли резуль­таты эксперимента с гипотезой о том, что данная случайная величина подчинена закону распределения φ (х), указывают ли найденные ха­рактеристики зависимости между двумя случайными величинами на наличие действительной зависимости. Указанные задачи носят назва­ние «задачи проверки правдоподобия гипотез».

3. Часто на практике не возникает вопрос определения закона рас­пределения, а требуется по экспериментальным данным найти «наи­лучшие» оценки для неизвестных параметров. С этой задачей связана задача оценки точности этих «наилучших» значений.

Результаты наблюдений х₁, x ₂, х₃,..., х_п случайной величины X называются выборкой из генеральной совокупности (из всевоз­можных значений случайной величины X).

Выборка называется повторной, если ее элементы независимы (на­пример, номер вынутого из урны шара, если вынутый шар возвра­щается обратно), и бесповторной, если ее элементы зависимы (на­пример, если шар обратно в урну не возвращается).

Представительной (репрезентативной) называют выборку, если ее элементы выбраны случайно, наугад. С целью изучения того или иного явления выборка обязательно должна быть представительной (например, если анализируется качество готовой продукции завода, то изделия должны быть отобраны случайным образом, а не предста­влены лучшие образцы).

При большом п выборка оформляется в виде статистического ряда (вспомните ряд распределения). При этом весь диапазон наблюденных значений х делится на интервалы («разряды») и подсчитывается коли­чество значений, приходящееся на каждый разряд. Для каждого раз­ряда вычисляется частость . Статистический ряд имеет сле­дующий вид:

 

Ряды li	x1, x 2	x2, x3	…	xi, xi+1	…	xk, xk+1
mi	m1	m2	…	mi	…	sk
Qi	Q1	Q2	…	Qi	…	Qk

 

 

Число разрядов k выбирается порядка 10 - 20, а их длины, как правило, одинаковыми и такими, чтобы m_i было не менее 5.

Для определения числа равных интервалов k, на которые следует разбить весь диапазон значений x_i, можно воспользоваться формулой k = log ₂ n + 1, при этом следует учитывать, что число интервалов должно быть не меньше 8 - 10 и не больше 40, а п ≥ 50.

Статистический ряд часто оформляется в виде так называемой гистограммы (по оси абсцисс откладываются разряды и на каждом из разрядов как на основании строится прямоугольник, площадь которого равна Q_i, высота прямоугольника ). При равных длинах разрядов h_i пропорциональна Q_i. Следует заметить, что

 

              Рисунок 28              Рисунок 29

Пример. Произведено 500 измерений некоторой величины. Результаты измерений (в сантиметрах) сведены в статистический ряд

 

li	-4, -3;	-3, -2;	-2, -1;	-1, 0;	0, 1;	1, 2;	2, 3;	3, 4;
mi	6	25	74	133	120	88	46	10
Qi	0, 012	0, 050	0, 144	0, 266	0, 240	0, 176	0, 092	0, 020

Гистограмма имеет вид, представленный на рис. 28.

При небольшом п (меньше 30) х _i по интервалам не распределяют, а состав­ляют статистическую таблицу распределения

xi	x1	x2	…	xn
mi	m1	m2	…	mn

 

 

а вместо гистограммы строят статистический многоугольник (полигон) частот. 2.1. Построить ряд и начертить полигон для следующего распределения на­пряжения электрического тока в сети

 

39   41    40   42  41    40   42  44  40  43  42  41        43

39   42    41    42  39    41   37  43  41  38  43  42       41

40    41    38   44  40    39   41   40  42  40  41  42       40

43  38  39   41 41   42

 

Решение. Для построения статистического ряда различные значения признака располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем его частоту. Статистический ряд имеет следующий вид:

 

x_i  37         39         39        40       41        42        43        44

m_i   1           3          5          8        11          9          5          2

 

Полигон частот представлен на рис. 29.

В § 10 мы познакомились с основными числовыми характеристи­ками случайных величин: математическим ожиданием, дисперсией, начальными и центральными моментами. Аналогичные числовые ха­рактеристики существуют и для статистических распределений. Для математического ожидания, как мы уже знаем, статистическим ана­логом является среднее арифметическое

 

                                  (2.1)

 

для дисперсии — величина

                          (2.2)

 

 

⇐ Предыдущая45678910111213

Поделиться: