Мольная теплоёмкость при постоянном объёме для одноатомного газа равна

C_V = 3 R /2, а выражения для температур Т₂ и Т₃ берём из соотношений ((4.25) и (4.28). Подставив их значения в уравнение (4.31), получим

              А  = C_V ν ( T ₂ – T ₃ ) = 3( P ₂ V ₁ – P ₃ V ₂ )/2  = 1350 Дж = 1,35 кДж.

3) Максимальное значение КПД обеспечивает цикл Карно, состоящий из двух адиабат и двух изотерм. Изотермы должны соответствовать максимальной и минимальной температурам заданного цикла. Таковыми температурами являются Т₂ и Т₄, соответственно.

КПД цикла Карно определяется по формуле:

                                η = 1 – Т _min / T_max = 1 – T₄/T₂ .                                          (4.32)

Подставив в (4.32) выражения для T ₄ (4.28) и T ₂  (4.25), получим выражение для КПД цикла Карно

                                η = 1 – ( P ₄ V ₂ / P ₂ V ₁ ) = 1 – 6/33 = 0,82 = 82%.

§ 5. Графический метод решения физических задач.

Этот метод используется при решении задач, в которых можно построить график зависимости двух физических величин, произведение которых даёт значение другой искомой величины. Формально значение этой искомой величины будет равно площади фигуры, лежащей под графиком.  Так по графику скорости, как функции времени можно определить путь, пройденный телом за какое-то время; по графику зависимости давления газа от занимаемого им объёма – работу, совершённую газом при расширении; по графику зависимости силы тока от времени – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за некоторое время; по графику зависимости заряда конденсатора от напряжения на его обкладках – работу, совершённую источником тока по зарядке конденсатора и т.д.

Задача №26. Пассажир, опоздавший к поезду, заметил, что предпоследний вагон прошёл мимо него за t₁ = 10 c, а последний – за t₂ = 8 c. Считая движение поезда равноускоренным, определить время опоздания пассажира.

График зависимости скорости поезда от времени при его равноускоренном движении представлен на рис. 26. На графике отмечены интервалы времени прохождения предпоследнего t₁ и последнего t₂ вагонов. Нужно найти временной интервал t₀, определяющий время опоздания пассажира. Следует отметить, что по графику скорости пройденный телом путь определяется площадью фигуры, лежащей под графиком. Поскольку длины вагонов одинаковы, то одинаковы и расстояния, пройденные поездом за время t₁ и t₂, следовательно, площади трапеций, высоты которых равны t₁ и t₂, должны быть равными, т.е. S₁ = S₂.

Площадь первой трапеции S₁ = (V₀ +V₁)t₁ / 2, а второй – S₂ = (V₁ + V₂)t₂ / 2 . Приравняв правые части этих равенств, получаем уравнение:

      (V₀  + V₁)t₁  = (V₁ + V₂)t₂.              (5.1)                                                 

Входящие в уравнение (5.1) значения скоростей поезда через интервалы времени t₀, (t₀ + t₁) и (t₀ + t₁ + t₂) можно записать по формуле скорости при        равноускоренном движении:       

                  Рис . 26.                       V₀ = a t₀;  V₁ = a (t₀ + t₁); V₂ = a (t₀ + t₁ + t₂). (5.2)                                

                                                           Подставив эти значения в (5.1) и произведя преобразования, получим выражение:

                              t₀ = (t₂² + 2t₁t₂ - t₁²) / 2 (t_{1 –} t₂),                                             (5.3)

из которого следует ответ задачи t₀ = 31 c.

Задача № 27. Санки, двигаясь по льду с некоторой скоростью V, въезжают на асфальтированную дорожку и, пройдя по ней расстояние L, останавливаются. Длина полозьев санок d. Определить величину скорости санок V при условиях: 1) L₁ < d; 2) L₂ = d; 3) L₃ > d. Коэффициент трения полозьев санок об асфальт равен μ.

Санки останавливаются в результате действия силы трения, которая в этом случае не является величиной постоянной, поскольку по мере въезда на асфальт возрастает сила их давления на поверхность асфальта. Зависимость силы трения от расстояния, пройденного санками по  асфальту при d ≥ L > 0 имеет вид:     F_ТР=μmgL/d.                                                   

  Когда же санки полностью въезжают на асфальт, сила трения становится максимальной и остаётся постоянной

                           F_{ТР max}  = μ mg.

 График зависимости F_ТР от  L изображён на рис. 27.

Для определения скорости, которая необходима для прохождения санками расстояния L используем теорему об изменении кинетической энергии, согласно которой это изменение равно работе, совершённой над телом некоторой силой

                  Рис. 27.                                     А = ΔE_к.                                   (5.4)

                                                            В нашем случае эту работу совершает сила трения. По графику (рис.27) работа силы трения определяется площадью фигуры, лежащей под графиком. При прохождении санками расстояний, равных L₁ и L₂, это площади прямоугольных треугольников с основаниями L₁ и L₂. Сила трения в момент прохождения санками расстояния L₁ определится по формуле:

                                              F _ТР1 = μ mgL₁/d.                                                   (5.5)

Работа этой силы      А₁ = F_ТР1  L₁ / 2 = μ mgL ₁² / d.                                       (5.6)

Изменение кинетической энергии      Δ Е _{к 1} = mV₁² / 2.                                   (5.7)

Подставив правые части равенств (5.6) и (5.7) в уравнение (5.4), получаем значение скорости санок, которая позволяет им пройти расстояние по асфальту равное L₁:

                                          V₁ = L₁ (2μg / d)^1/2.                                                   (5.8)

Работа силы трения на пути L₂, которое равно длине санок d, определится выражением:

                                 А₂ = F_{ТР max} L₂ / 2 = μ mg L₂ / 2.                                       (5.9)

Приравняв эту работу изменению кинетической энергии санок Е_К2 = mV₂² / 2, получим значение скорости, позволяющей санкам полностью въехать на асфальт:                     V₂  = (μgL₂) ^1/2                                                                                               (5.10)

Работа силы трения в случае, когда санки проходят по асфальту расстояние L₃,определится площадью трапеции с основаниями L₃  и (L₃ – d) и высотой , равной значению F_{ТР max}:

                              А₃ = F_{ТР max} ( 2L₃  - d) / 2 = μ mg ( 2L₃  - d) / 2.                   (5.11)

Приравняв эту работу изменению кинетической энергии санок Е_К3 = mV₃² / 2, определим скорость, которая позволяет санкам пройти по асфальту расстояние L₃:

                                        V₃ = [ μ g ( 2L₃  - d)] ^½.                                              (5.12)

Задача № 28.Определить работу, совершаемую ν молями идеального газа в циклическом процессе, график которого представлен в координатах Р и Т на рис. 28,а. Зависимость Р от Т на участке (1 - 2) цикла имеет вид:

Р = α Т^1/2, где α - постоянная величина.

Участки цикла (2 - 3) и (3 - 1) представляют соответственно графики изохорного и изобарного процессов в газе. Работа, совершаемая газом за один цикл, графически определяется площадью фигуры, ограниченной циклом, если цикл представлен в координатах Р и V . Изобразим данный цикл в координатах Р и V . Для этого необходимо определить положение точек 1, 2 и 3 в новых координатах. Точка 1 лежит на  пересечении  изобары   Р₁ = со nst  и  кривой Р = α Т ^½, точка 2 - на пересечении этой же кривой с изобарой   Р₂ = const ,   точка  3 - на пересечении изобары    Р₁ = со nst и изохоры V ₂ = const (прямой 2 – 3 – 0). Ось Р при переходе в новые координаты остаётся без изменения, поэтому изобары Р₁ = со nst и Р₂ = const не меняют своего вида. Для определения значений объёма газа в состояниях 1 и 2 используем уравнение Клапейрона - Менделеева:

                                  P₁V₁ = RT₁ откуда      V₁ = νRT₁ / P₁;                            (5.13)

Аналогично                                                    V₂ = νRT₂ / P₂.                           (5.14)

Так как Т₂ > Т₁, а Р₂ > Р₁, то трудно без числовых значений определить, какое из отношений T₁ / P₁  или T₂ / P₂ больше, а следовательно определить какой из

объёмов V₁ или V₂ больше. Поэтому проводим через точку 1 изохору V₁ = const (прямая 0 – 1), угол наклона которой больше, чем изохоры V₂ = const (прямая 0-3-2). Зависимость давления от температуры имеет вид P = (νR/V)T, откуда видно, что большему объёму V соответствует меньший коэффициент пропорциональности (выражение в скобках), а следовательно и меньший тангенс угла наклона изохоры. Отсюда следует, что V₂ > V₁ .Теперь установим зависимость давления от объёма в процессе (1 – 2). Поскольку состояние газа в этом процессе описывается не только заданным уравнением, но и уравнением Клапейрона – Менделеева, то запишем систему уравнений:                                                                                                                                                                                                                                                        

                                            Р = αТ^1/2;                          

РV = νRT.                                                           (5.15)

Возведя первое уравнение в квадрат, исключаем Т, разделив уравнения. В результате получим зависимость Р от V:

                                                 Р = (α²/ νR) V.                                                    (5.16)

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: