Расстояние, на которое удалится первый, поравнявшийся с тренером спортсмен, за это время и будет определять новую длину колонны.

  Спортсмены бегут от тренера со скоростью ( v – u ), поэтому первый спортсмен за время t убежит на расстояние L ₁ , которое определится по формуле:

                                 L ₁ = ( v – u ) t = L ( v – u )/ ( v + u ).                        (2.2)

Это и будет новой длиной колонны, она станет короче.

Задача № 12. Два автомобиля выезжают одновременно из пунктов А и В, расположенных на расстоянии L друг от друга. Первый автомобиль А едет по прямой дороге, направленной под углом α к прямой АВ со скоростью V_A , а второй В - по прямой дороге, составляющей с прямой АВ угол β, со скоростью V_B (рис. 14,а). Определить, каким будет минимальное расстояние между автомобилями при их движении?

Изобразим движение  автомобиля В в системе отсчёта, связанной с автомобилем А (рис. 14,б). В этой системе отсчёта автомобиль А неподвижен, а автомобиль В движется со скоростью                                                                             V_BA вдоль прямой ВС. Кратчайшее расстояние от неподвижного в этой системе отсчёта автомобиля А  до прямой ВС определится длиной перпендикуляра АD, которая и даст значение минимального расстояния d между автомобилями. Это расстояние определится из прямоугольного треугольника ADB по формуле:

                                                d = L sin γ.                                                         (2.3)

Угол γ определяется из векторного треугольника скоростей (рис.11) использованием теоремы синусов:

                                 V_A / sin ( β – γ ) = V_B / sin ( α + γ )                                        (2.4)

             V_A (sin α cos γ + sin γ cos α ) = V_B (sin β cos γ – sin γ cos β )                       (2.5)

Разделив обе части равенства (2.5) на cos γ , получим

                                  V_A ( sin α + tg γ cos α ) = V_B ( sin β – tg γ cos β ).                (2.6)

Отсюда                      tg γ = ( V_B sin β - V_A sin α )/( V_A cos α + V_B cos β ),               (2.7)

a                           γ = arc tg( V_B sin β - V_A sin α)/( V_A cos α + V_B cos β),               (2.8)

Подставив в (2.3) значение угла γ, получаем значение минимального расстояния между автомобилями

                      d = L sin arc tg ( V_B sin β - V_A sin α)/( V_A cos α + V_B cos β).

  При решении таким методом задач на столкновение тел вектор скорости V_BA должен быть направлен точно на тело А, а угол γ должен быть равен нулю.

Направление вектора V₀ в задаче №2 можно определить гораздо проще именно этим методом, а не координатным.

 Представим движение тела В (рис.3 на стр.7) в системе отсчёта, связанной с телом А. В этой системе тело А неподвижно, а вектор ускорения свободного падения g передаём телу В, направив его противоположно (-g) (рис. 15). Поскольку у тела В есть своё ускорение g, то оба ускорения в сумме дадут нуль. Следовательно, в этой системе отсчёта тело В движется   равномерно со скоростью V₀. А для того, чтобы тело В столкнулось с неподвижным телом А вектор скорости V₀ должен быть направлен вдоль прямой АВ, которая составляет с горизонтом угол α, тангенс которого определяется отношением

H / L: tg α = H / L (cм. решение задачи № 2 )

Метод составления системы уравнений.

Система идентичных уравнений.

Этот метод используется при решении тех задач, в которых рассматривается одно и то же физическое явление, происходящее при разных условиях, отражённых в данных задачи. При составлении уравнений необходимо проанализировать, какие физические величины, описывающие это явление, остаются одинаковыми.

Задача № 13. Эскалатор (движущаяся лестница) спускает идущего по нему пассажира за время t₁, а движущегося по нему в два раза быстрее за время t₂. За какое время эскалатор спускает стоящего на нём пассажира?

 

В этой задаче одинаковыми являются длина эскалатора S и скорость его движения u. Скорость первого пассажира в неподвижной системе отсчёта по закону сложения скоростей складывается из скорости пассажира относительно эскалатора v и скорости самого эскалатора u: v₁ = v + u, её также можно определить по определению скорости v₁ = S/t₁. Тогда для скорости движения первого пассажира получим соотношение:

                                  S/t₁ = v +u.                                                                  (3.1)

Аналогично для скорости движения второго пассажира, который движется относительно эскалатора со скоростью 2v:

                                           S/t₂ = 2v + u.                                                         (3.2)

Для третьего пассажира уравнение скорости движения будет иметь вид:

                                           S/t₃ = u.                                                                 (3.3)

В системе трёх уравнений (3.1) – (3.3) четыре неизвестных: S, v, u и искомое t_3, поэтому необходимо понизить число неизвестных. Для исключения неизвестной скорости v, вычтем уравнение (3.2) из уравнения (3.1), умноженного на 2. В результате чего получим уравнение:

                                       S (2/t₁ – 1/t₂) = u.                                                      (3.4)

Далее решаем систему уравнений (3.3) и (3.4). Приравняв левые части этих равенств, и сократив на S, получим выражение:

                                          2/ t₁ – 1/ t₂ = 1/ t₃.                                                   (3.5)

Откуда                              t₃ = t₁t₂ / (2t₂ – t₁).                                                  (3.6)

    

Задача № 14. Посередине откачанной и запаянной с обоих концов трубки длиной L, расположенной горизонтально, находится столбик ртути длиной h. Если трубку поставить вертикально, то столбик ртути сместится на расстояние равное d. До какого давления была откачана трубка? Плотность ртути ρ.

Процесс перевода трубки из горизонтального положения в вертикальное (рис. 16) можно считать изотермическим, и, следовательно, к состояниям газа в обеих частях трубки применить закон Бойля-Мариотта.

Поскольку площадь поперечного сечения трубки остаётся постоянной, то объёмы частей трубки, занятые газом, пропорциональны их длинам. Тогда для газа в верхней части трубки закон Бойля-Мариотта запишется так:

Р(L – h)/2 = P₁ [(L- h)/2 + d];                            (3.7)

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: