Применение координатного метода к статическим задачам.

                           

   Координатный метод широко используется при решении статических задач. Если тело находится в равновесии под действием сходящейся системы сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, то условие равновесия записывается в виде следующих соотношений: Σ F_ix = 0 и  Σ F_iy =0 для плоской системы сходящихся сил, вектора которых лежат в одной плоскости. Если система сходящихся сил является пространственной, то к выше приведённым уравнениям добавляется уравнение Σ F_iz = 0.

Задача № 9. Заряженный алюминиевый шарик радиуса r , подвешенный на тонкой нерастяжимой нити, находится между двумя параллельными вертикальными пластинами, расстояние между которыми d . Пространство между пластинами заполнено керосином. Каков заряд шарика, если при подаче на пластины напряжения U угол отклонения нити равен α?

Изобразим шарик в положении равновесия, в котором нить образует угол α с вертикалью. Электрическое поле, возникающее между пластинами при подаче на них напряжения U , считаем однородным. Силовые линии такого поля параллельны друг другу и направлены перпендикулярно поверхностям пластин от пластины с большим потенциалом (+) к пластине с меньшим потенциалом (-). Вектор напряжённости Е параллелен силовым линиям, а его величина определяется соотношением: Е = U /ε d ,

где ε – диэлектрическая проницаемость керосина.

   На шарик действуют силы: mg - сила тяжести, F_A - архимедова сила, T - сила натяжения нити и F_E - сила, действующая на заряд шарика со стороны электрического поля (рис. 10).

Запишем условия равновесия шарика в виде проекций сил на координатные оси

                                        ОХ:     Т sin α – F_E = 0;                                                    (1.61)                                

                                      OY: Tcos α + F_A – mg = 0.                                     (1.62)

Представим эти уравнения в виде:

                                             Т sin α = F_E;

                                             Tcos α = mg - F_A.

Поделив левые и правые части этих уравнений, получим соотношение                                                                                   

                                                    tg α = F_E / ( mg – F_A ).                                       (1.63)

Из этого уравнения выразим силу F_E

                                                  F_E  = ( mg – F_A ) tg α .                                     (1.64)

По законам электростатики эта сила определяется по формуле:

                                                      F_E  = E q = U q / ε d ,                                     (1.65)

Где q - заряд шарика.

 Приравняв правые части (1.64) и (1.65) получим уравнение, из которого можно найти заряд шарика:

                                          U q / ε d = (mg – F_A) tg α.                                      (1.66)

Подставим в уравнение (1.66) выражения для силы тяжести и силы Архимеда, связав их с плотностями алюминия и керосина, соответственно:

                                        mg = ρ_a Vg = (4/3) π r ³ ρ_ag ,                                      (1.67)

                                       F_A = ρ_k Vg = (4/3) π r ³ ρ_kg .                                       (1.68)

Получим уравнение

                              U q / ε d = (4/3) π r ³ g ( ρ_a - ρ_k ) tg α ,                                   (1.69)

Из которого найдём заряд шарика

                                       q = 4 π r ³ g ε d ( ρ_a - ρ_k ) tg α / 3 U .                                   (1.70)

В случае произвольной (несходящейся) плоской системы сил, кроме равенства нулю сумм проекций сил на координатные оси ОХ и ОУ требуется равенство нулю суммы моментов сил относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через произвольную точку.

Моментом силы относительно оси называют скалярную величину, определяемую произведением модуля силы на плечо силы. Плечом силы называют кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы. Если под действием силы тело вращается вокруг оси против направления движения часовой стрелки, то момент такой силы считается положительным, если по часовой – отрицательным.

Задача № 10.Лестница массой m прислонена к стене. Чему равен минимальный угол φ между лестницей и полом, при котором лестница ещё находится в равновесии, если коэффициент трения между лестницей и стеной равен μ₁, а между лестницей и полом μ₂? Определить силы реакции стены и пола, а также силы трения между лестницей и полом, лестницей и стеной.

  Лестницу считаем телом однородным по всей длине, поэтому С - точка приложения силы тяжести mg лежит в середине лестницы АВ (рис. 11). На лестницу в точке А действуют сила трения F _ТР1 и сила реакции стены N ₁ , в точке В – сила трения F _ТР2 и сила реакции пола N ₂ (рис. 11).

  В данном случае имеет место плоская, произвольная система сил, поэтому условие равновесия лестницы будет представлено в виде трёх уравнений: равных нулю сумм проекций на координатные оси всех сил системы и равной нулю суммы моментов относительно оси, проходящей через точку А или В  перпендикулярно плоскости чертежа. Выбор этих осей обусловлен тем, что в первом случае (точка А) «выбывают из игры» силы                              F _ТР1 и N ₁ , а во втором случае (точка В) – силы F _ТР2 и N ₂ , поскольку в этих случаях эти силы не имеют плеч и их моменты становятся равными нулю.

ОХ: N ₁  - F _ТР2 = 0;                                                 (1.56)

ОУ: F _ТР1 + N ₂ – mg = 0;                                        (1.57)

             Рис. 11.          В качестве моментной точки выберем точку В, тогда сумма моментов относительно оси, проходящей через эту точку, предстанет в виде:               F _ТР1 L cos φ + N ₁ L sin φ - ( mgL /2) cos φ  = 0.                    (1.58)

В этом случае моменты сил F _ТР2 и N ₂ равны нулю, так как  равны нулю их плечи. Следует учесть, что F _ТР1 = μ₁ N ₁ , а F _ТР2 = μ₂ N ₂ , тогда уравнения  (1.56) -(1.58) примут вид:         N ₁  - μ₂ N ₂ = 0;                                                         

                                μ ₁ N₁ + N₂ – mg = 0;                                                        

                                μ ₁ N₁ cos φ + N₁  sin φ - (mg/2) cos φ  = 0.                    (1.59)

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: