Количество теплоты определим по первому закону термодинамики

   Q = ΔU + A,                                         (5.20)

где ΔU – изменение внутренней энергии газа, а

 А – работа, совершаемая газом в данном процессе.

Изменение внутренней энергии ΔU вне зависимости от вида совершаемого газом процесса определяется по формуле

                                              ΔU = С_V νΔT.                                                      (5.21)

Работу, совершаемую газом в этом процессе, определим графическим способом. Изобразим график зависимости давления газа от его объёма, заданной в условии задачи (рис. 29). Работа по графику процесса в координатах Р и V определится площадью заштрихованной трапеции:

                                  А = (Р₀ + Р)V / 2 = (2P₀ + αV)V / 2.                                (5.22)

Подставив (5.21) и (5.22) в уравнение (5.20), получим выражение для Q:

                                                   Q = С_V νΔT + (2P₀ + αV)V / 2.                         (5.23)

Произведение νΔT, необходимое для определения С согласно формуле (5.19), определим из системы уравнений:       Р = Р₀ + αV;

                                                                      РΔV = νRΔT.                                (5.24)

Здесь ΔV = V – 0 = V. Решая эту систему, получим

                                         νΔT = (Р₀ + αV)V / R.                                               (5.25)

Подставляя (5.23) и (5.25) в (5.19), получим значение мольной теплоёмкости газа в данном процессе:

                   C = C_V + R [ (2P₀ + α V) / (2P₀ + 2 α V) ].                                         (5.26)

Задача № 30. Конденсатор заряжают от источника тока с ЭДС Е при температуре диэлектрика Т₁, отключают и нагревают диэлектрик до температуры Т₂. Затем производят разрядку конденсатора. Определить КПД электро-теплового цикла конденсатора. Теплоёмкость диэлектрика конденсатора с. Зависимость диэлектрической проницаемости диэлектрика от температуры ε = α / Т. Ёмкость конденсатора при температуре Т₁ равна С₁.

Напряжение на пластинах конденсатора, подключённого к источнику равно ЭДС, если не учитывать сопротивление подводящих проводов, U₁ = E. Заряд     конденсатора определится по формуле:

             q = С₁U₁ = C₁E.                                (5.27)

После отключения от источника тока заряд на пластинах конденсатора остаётся постоянным. При нагревании диэлектрика его диэлектрическая проницаемость ε уменьшается, и уменьшается ёмкость конденсатора, поскольку ёмкость прямо пропорциональна ε. При температуре Т₁ ёмкость конденсатора

  С₁  = ε₁С = αС/Т₁,                                (5.28)

а при температуре Т₂

          С₂ = ε₂С = αС/Т₂ = С₁Т₁ /Т₂.                (5.29)

Здесь С – ёмкость конденсатора с диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого ε = 1, т.е. с воздушным диэлектриком. Так как Т₁ / Т₂ < 1, то ёмкость конденсатора уменьшится, а напряжение на пластинах конденсатора U₂ увеличится:

                                      U₂ = q/C₂ = C₁E/C₂ = ET₂/T₁.                                          (5.30)

График процессов, происходящих в конденсаторе, изобразим в координатах q и U (рис. 30). Полезной работой будет работа при разрядке конденсатора, которая по графику изображается площадью треугольника 0qT₂:

                                        А_п = (½) qU₂ =(1/2)C₁E²T₂/T₁.                                    (5.31)

Энергия W₀, затраченная для зарядки конденсатора до напряжения U₂, выразится соотношением:

                                    W₀ = W + Q,                                                                 (5.32)

где W – работа, совершённая источником тока для зарядки конденсатора до напряжения U₁, которая определяется площадью треугольника 0qT₁:

                                     W = (½) qU₁ = (½) C₁E²,                                             (5.33)

а Q – количество теплоты, сообщённое диэлектрику для изменения его температуры от Т₁ до Т₂:

                                     Q = c(T₂ – T₁),                                                             (5.34)

КПД электро-теплового цикла выразится соотношением:

                     η = А_п / W₀ = (C₁E²T₂/ T₁)[ C₁E² + 2c(T₂ – T₁)].                         (5.35)

Метод отрицательных масс.

Этот метод используется при решении задач на определение положения центра масс фигуры, имеющей удалённые из неё участки. В этом случае массу удалённого участка считают отрицательной, а силу тяжести этого участка (-mg) направляют вверх. В дальнейшем используют условие равновесия тела, находящегося под действием системы параллельных сил. Здесь используется понятие момента силы.

Задача №31. Определить координату Х_С центра масс однородного цилиндра радиуса R, в котором высверлено сквозное цилиндрическое отверстие радиуса r, ось которого параллельна оси цилиндра и находится от неё на расстоянии d.

 

Изобразим поперечное сечение цилиндра с высверленным в нём цилиндрическим отверстием. Сечение проводим через середину длины цилиндра. Центр масс (точка С) (рис. 31) находится на оси Х, проходящей через точки О и О₁. После удаления цилиндрической части радиуса r он смещается вправо от оси основного цилиндра. На рисунке указываем силы тяжестей сплошного цилиндра Mg и удалённого цилиндра (-mg). Под действием этих сил цилиндр остаётся в равновесии, если ось вращения проходит через центр масс. Условие равновесия тела, имеющего ось вращения заключается в равенстве нулю суммы моментов сил, приложенных к телу, относительно этой оси.  Условие равновесия в нашем случае будет иметь вид:

                       Mg X_C - mg(d + X_C) = 0.            (6.1)                                    

Массы М и m определим по формулам:

                         М = ρ V = ρ πR²L;     m = ρ π r²L,                                       (6.2)

где ρ – плотность материала цилиндра, L – длина цилиндра.

После подстановки (6.2) в (6.1) и преобразований получаем выражение:

                                    R² X_C  - r²(d – X_C) = 0,                                                    (6.3)

Откуда получаем значение координаты центра масс Х_С:

                                   Х_С = d [r²/ (R² + r²)].                                                         (6.4)

Задача № 32. Определить координату центра масс алюминиевого цилиндра радиуса R, в котором сквозное высверленное цилиндрическое отверстие радиуса r залито свинцом. Расстояние между осями алюминиевого цилиндра и заполненного отверстия d.

   Поскольку плотность свинца больше плотности алюминия, то центр масс (точка С) такого цилиндра сместится влево от оси основного цилиндра. Масса высверленного алюминиевого цилиндра m₁ считается   отрицательной,  поэтому  сила  тяжести (-m₁g) направлена вверх, а сила тяжести заполняющего это отверстие свинца m₂g направлена, как обычно, вниз (рис. 32). Массы М, m₁ и m₂ определим по формулам:

                             М = ρ_Al πR²L;    m₁ = ρ_Al πr²L; m₂ = ρ_Pb πr²L.               (6.5)

Уравнение равновесия цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс, будет иметь вид:

                            m₂g(d – X_C) - m₁g (d – X_C ) - Mg X_C = 0.                            (6.6)

После подстановки значений М, m₁ и m₂ из (6.5) в (6.6) и преобразований получим выражение, определяющее координату центра масс данного цилиндра:

                           X_C = dr² ( ρ_Pb - ρ_Al)/[ ρ_Al(R²- r ²) + ρ_Pbr ²].                               (6.7)

 

Метод индукции.

   Этот метод подобен методу математической индукции, с помощью которого устанавливается общая зависимость некоторых величин по их частным зависимостям.

Задача № 33. Гоночный автомобиль («болид») движется равноускоренно из состояния покоя. На первых десяти метрах его скорость возрастает на 10 м/с. Определить возрастание его скорости на тех же десяти метрах при прохождении от 990-го метра до 1000-го метра пути и сравнить с возрастанием на первых десяти метрах. Дать объяснение их значительному расхождению.

При решении задачи используем соотношение между изменением скорости и пройденным путём:

                                       V²  - V₀²  = 2aS.                                                          (7.1)

Скорость автомобиля после прохождения первого десятиметрового отрезка ( S = 10 м) определится соотношением:

                                     V₁²  = V₀²  + 2aS = 0 + 2aS = 2aS;                             ( 7.2)

после прохождения второго:

                                    V₂²  = V₁² + 2aS = 2aS +2aS = 4aS = 2V₁²;                  ( 7.3)

после прохождения третьего:

                                     V₃² = V₂² + 2aS = 4aS + 2aS = 6aS = 3V₁² ;               ( 7.4)

Следовательно, между обеими частями равенств (7.2) - (7.4) просматривается зависимость вида:

                                    V_n² = n V₁²,                                                                   ( 7.5)

откуда связь между скоростью при прохождении n-го десятиметрового отрезка и первого выразится соотношением:

                                     V_n = ( n)^1/2 V₁ .                                                                (7.6)

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: