Математическое моделирование объектов управления

 

Под моделью понимают такой материально или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал и отражает отдельные, ограниченные в нужном направлении стороны явления рассматриваемого процесса. Модели могут быть реализованы с помощью физических, реально существующих объектов (физические модели), или с помощью абстрактных объектов. Абстрактной моделью могут быть математические выражения, описывающие характеристики объекта моделирования. Таким образом, математическая модель – это приближенное отображение моделируемой системы с помощью уравнений и ограничивающих условий. Математическое описание основывается на физических, химических, энергетических и других закономерностях.

Во многих случаях построение модели начинается с использования основных физических законов (законов Ньютона, Максвелла или Кирхгофа, законов сохранения энергии и импульса, законов перераспределения тепла и энтропии и т.д.) для математического описания исследуемого объекта, являющегося, например, механическим, электрическим или термодинамическим процессом.

Рассмотрим примеры построения математических моделей различных объектов.

Пример 1. Электрическая система представляет собой RC-схему, в которой за входное воздействие принято напряжение , а за выходной сигнал – напряжение  (рисунок 2.1).

Ток в цепи определяется током через конденсатор:

.

 

Рисунок 2.1 – RC-схема

 

По закону Кирхгофа справедливо следующее соотношение:

Обозначая , получим дифференциальное уравнение 1-го порядка, описывающее поведение рассматриваемой электрической системы:

.                                                   (2.1)

Пример 2. Гидравлическая система представляет собой емкость цилиндрической формы, в которую поступает жидкость с объемной скоростью . Площадь основания емкости – , высота слоя жидкости –  (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Гидравлическая емкость

 

Изменение объема жидкости в емкости определяется соотношением

,

где – объем жидкости.

Учитывая, что объем цилиндра определяется по соотношению

,

уравнение, описывающее изменение уровня жидкости в рассматриваемой емкости примет вид:

.                                                                        (2.2)

Пример 3. Гидравлическая система представляет собой емкость цилиндрической формы, в которую поступает жидкость с объемной скоростью  и вытекает через отверстие в днище площадью  с объемной скоростью . Площадь основания емкости – , высота слоя жидкости –  (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Гидравлическая емкость со стоком

 

В данном случае изменение объема жидкости в емкости будет определяться разностью объемных скоростей подачи и истечения жидкости:

.

При равенстве притока и стока жидкости в системе будет наблюдаться стационарный режим, соответствующий постоянному уровню жидкости .

Учтем, что скорость истечения жидкости зависит от высоты слоя жидкости в емкости по соотношению

,

где  – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств жидкости, ускорения свободного падения и площади отверстия в днище.

В итоге поведение рассматриваемой системы будет описываться нелинейным дифференциальным уравнением следующего вида:  

.                                                       (2.3)

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: