При последовательном соединении звеньев их передаточные функции перемножаются.

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 22Следующая ⇒

В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух последовательно соединенных звеньев с известными передаточными функциями (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 – Последовательное соединение звеньев

Учитывая соотношение (2.7), запишем изображения выходных сигналов каждого из звеньев:

По определению передаточной функции системы (пунктир на рисунке 2.6) получим:

. (2.8)

При параллельном соединении звеньев их передаточные функции складываются.

В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух параллельно соединенных звеньев с известными передаточными функциями (рисунок 2.7).

Рисунок 2.7 – Параллельное соединение звеньев

Запишем изображения выходных сигналов каждого из звеньев и системы в целом (пунктир на рисунке 2.7):

Таким образом, передаточная функция системы определится, как

. (2.9)

Замкнутая система (система с обратной связью).

Выведем выражение для передаточной функции замкнутой системы, для которой известны передаточные функции разомкнутой системы и обратной связи (рисунок 2.8).

– передаточная функция разомкнутой системы;

– передаточная функция обратной связи

Рисунок 2.8 – Система с обратной связью

Запишем изображение выходного сигнала разомкнутой системы:

где ,

Осуществляя подстановку, получим:

или

Обозначим передаточную функцию замкнутой системы (пунктир на рисунке 2.8) через , тогда конечная формула примет вид:

. (2.10)

Передаточная функция любого звена или системы в целом может быть представлена в виде отношения двух полиномов:

. (2.11)

Корни полинома в числителе выражения (2.11) носят название нулей передаточной функции, корни полинома в знаменателе – полюсов передаточной функции.

Частотная характеристика

Частотные характеристики описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе звена, вызванные гармоническим воздействием на его входе.

Если на вход звена с передаточной функцией подано гармоническое воздействие, то по окончании переходного процесса на выходе звена будут наблюдаться гармонические колебания с той же частотой, но с измененной амплитудой и фазой.

При фиксированной амплитуде входных колебаний амплитуда и фаза установившихся колебаний на выходе звена зависят от частоты колебаний. Эти зависимости определяются свойствами частотной характеристики звена, которая может быть легко получена по виду передаточной функции, полагая в ней аргумент :

. (2.12)

Частотную характеристику можно представить в показательном виде:

, (2.13)

где – амплитудная частотная характеристика (АЧХ);

– фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Амплитудная частотная характеристика звена на частоте входного сигнала представляет собой отношение амплитуды установившегося выходного гармонического сигнала к амплитуде входного гармонического сигнала.

Фазовая частотная характеристика звена на частоте входного сигнала показывает, на сколько выходной сигнал сдвинут по фазе (углу) относительно входного сигнала.

Для частотной характеристики используется также и алгебраическая форма записи:

, (2.14)

где – действительная и мнимая части соответственно.

Согласно выражениям (2.13), (2.14) справедлива следующая связь между приведенными характеристиками:

, (2.15)

. (2.16)

Годографом частотной характеристики называют траекторию, которую описывает конец радиус-вектора, длина которого равна АЧХ системы, а угол поворота – ФЧХ (рисунок 2.9).

Рисунок 2.9 – Годограф инерционного звена

Координатами годографа в комплексной плоскости являются функции при изменении аргумента в пределах .

Переходная функция

Переходной функцией системы называют ее отклик на входное воздействие в виде единичной ступенчатой функции, при условии, что на момент поступления воздействия система находилась в покое (что соответствует нулевым начальным условиям).

Единичная ступенчатая функция (функция Хевисайда, или функция включения) представляет собой воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменным (рисунок 2.10).