Метод Данилевского при решении полной проблемы собственных значений. Построение канонической формы Фробениуса

 

Метод Данилевского решения полной проблемы собственных значений основан на том, что преобразование подобия не изменяет характеристического многочлена матрицы. Целью преобразования подобия является приведение исходной матрицы  к канонической форме Фробениуса:

,               (7.6.50)

по виду которой можно достаточно просто построить ее собственный многочлен:

,             (7.6.51)

так как коэффициенты собственного многочлена являются элементами последнего столбца матрицы Фробениуса.

Для получения матрицы Фробениуса строится последовательность матриц  по следующему правилу:

            (7.6.52)

где каждая последующая матрица  получается из предыдущей  преобразованием подобия с помощью матрицы :

            (7.6.53)

Обратная к  матрица имеет вид:

      (7.6.54)

где  – элементы последнего столбца матрицы  и . Тогда, если все элементы  (регулярный случай), то матрица

           (7.6.55)

будет иметь форму Фробениуса.

Если при построении матрицы  элемент , то имеем нерегулярный случай, так как  имеет вид:

.    (7.6.56)

В этом случае возможны две ситуации.

1. Среди элементов  имеется хотя бы один, отличный от нуля, например, . Тогда можно прийти к регулярному случаю, если в матрице  поменять местами первую и k-ую строки и столбцы. Такое преобразование матрицы  будет подобным, и, кроме того, столбцы, уже имеющие нужный вид не будут испорчены.

2. Все элементы , т.е. матрица  имеет блочный вид:

                       (7.6.57)

где  – квадратная матрица порядка , имеющая каноническую форму Фробениуса,  – квадратная матрица порядка , 0 – нулевая матрица. Тогда, на основании теоремы Лапласа, можно записать:

т.е. характеристический многочлен матрицы  является делителем характеристического многочлена матрицы . Для отыскания характеристического многочлена матрицы  нужно найти характеристический многочлен матрицы , что можно сделать путем приведения  к форме Фробениуса.

Таким образом, построив собственный многочлен матрицы , можно найти собственные значения  этой матрицы, которые являются корнями ее собственного многочлена.

Если удалось привести  к виду (7.6.55), то собственный вектор  матрицы  будет равен:

                           (7.6.58)

где – произведение матриц преобразования, а – собственный вектор матрицы (7.6.55), соответствующий собственному значению , компоненты которого  определяются следующим образом:

(7.6.59)

где .

Если не удалось привести матрицу  к виду (7.6.55), то для отыскания собственных векторов необходимо решить системы линейных алгебраических уравнений:

                   (7.6.60)

где . Так как системы (7.6.58) решаются с точностью до постоянного множителя, то одну из компонент вектора  можно приравнять некоторому числу.

 

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: