Описание систем в пространстве состояний

 

Описание систем во временной области лежит в основе современной теории управления. Временная область – это область, в которой поведение системы рассматривается как функция переменной  (времени). Анализ и синтез систем управления во временной области основан на понятии состояния системы. Состояние системы – это совокупность таких переменных, знание которых наряду с входными функциями и уравнениями, описывающими динамику системы, позволяет определить ее будущее состояние и выходную переменную. Для динамической системы ее состояние описывается набором переменных состояния . Это такие переменные, которые определяют будущее поведение системы, если известно ее текущее состояние и все внешние воздействия. Например, для системы, структурная схема которой изображена на рис. 8.1.1, переменные  имеют следующий смысл: если в момент времени  известны начальные значения  и входные сигналы  для , то этой информации достаточно, чтобы определить будущие значения всех переменных состояния и выходных переменных. Таким образом, переменные состояния описывают поведение систем в будущем, если известны текущее состояние, внешние воздействия и уравнения динамики системы.

 

Рис. 8.1.1

 

Пример. Рассмотрим механическую систему «масса – пружина» с затуханием, изображенную на рис. 8.1.2.

Рис. 8.1.2

 

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, обычно записывается в виде

.      (8.1.1)

Число переменных состояния, выбираемых для описания системы, должно быть по возможности минимальным, чтобы среди них не было излишних. Для данной системы вполне достаточно иметь две переменные состояния – положение и скорость движения массы:

                      (8.1.2)

С учетом переменных состояния, уравнение (8.1.1) примет вид:

.

Это уравнение можно представить в виде эквивалентной системы двух дифференциальных уравнений первого порядка:

    (8.1.3)

Уравнения (8.1.3) описывают поведение системы в терминах скорости изменения каждой переменной состояния.

Переменные состояния, описывающие систему, не являются единственными и всегда можно выбрать альтернативную комбинацию таких переменных. Например, для приведенной выше системы «масса – пружина» в качестве переменных состояния можно выбрать любые две линейно-независимые комбинации  и . На практике в качестве переменных состояния часто выбирают такие физические переменные, которые легко могут быть измерены.

Переменные состояния характеризуют динамику системы. Инженера в первую очередь интересуют физические системы, в которых переменными состояния являются напряжения, токи, скорости, перемещения, давления, температуры и другие физические величины. Однако понятие состояния применимо к анализу не только физических, но также биологических, социальных и экономических систем. Для этих систем понятие состояния не ограничивается рамками представлений об энергии и подходит к переменным состояния в более широком смысле, трактуя их как переменные любой природы, описывающие будущее поведение системы.

В общем случае систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая описывает систему управления в переменных состояния, можно представить в виде:

,           (8.1.4)

где  - вектор состояния;  - вектор управляющих воздействий,  - вектор-функция указанных аргументов, задающая динамику системы,  - вектор начального состояния.

Если  и (или)  входят в  нелинейно, то система (8.1.4) называется нелинейной, если систему (8.1.4) можно представить в виде:

,           (8.1.5)

где  – матрица динамических свойств модели объекта, размерности ,  – матрица влияния управляющих воздействий, размерности , то такая система называется линейной. Если элементы матрицы  и (или)  зависят от времени, то система (8.1.5) является нестационарной, если ни один из элементов матриц  и  не зависит от времени, то система (8.1.5) является стационарной. Если система управления является нелинейной, то достаточно часто ее линеаризуют и представляют в виде (8.1.5).

Заметим, что систему управления в переменных состояния можно представить и в дискретной форме:

,         (8.1.6)

где  вектор состояния на -ом такте;  вектор управляющих воздействий;  вектор-функция дискретных аргументов, задающая динамику системы на -ом такте;  вектор начального состояния. Аналогично (8.1.4) система (8.1.6) может быть нелинейной и линейной, представимой в виде:

.   (8.1.7)

Кроме того, системы (8.1.6), (8.1.7) могут быть как стационарными, так и нестационарными.

В дальнейшем, будем считать, что математическая модель, описывающая поведение управляемого объекта задана в виде (8.1.5) или (8.1.7). Использование линейных систем для описания моделей объектов обусловлено тем, что идеи и методы линейной теории автоматического управления с соответствующими оговорками широко используются и для других моделей объектов управления. Кроме того, математический аппарат матричной алгебры достаточно легко реализуется на ЭВМ.

 

⇐ Предыдущая12131415161718192021Следующая ⇒

Поделиться: