Методы Эйлера и Рунге-Кутта при решении задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка

 

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

                        (7.7.1)

состоит в нахождении функции , удовлетворяющей этому уравнению при начальном условии . При численном решении этой задачи обычно задают некоторый шаг  и находят решение в точках , где , , .

Обозначим разность между точными значениями функции  в двух рядом стоящих точках через

               (7.7.2)

и представим приближенно эту же разность в виде некоторой линейной комбинации:

, (7.7.3)

где

(7.7.4)

Коэффициенты  будем задавать таким образом, чтобы разложение  в ряд Тейлора по степеням  и линейная комбинация  совпадали до возможно более высоких степеней  при произвольной функции  и произвольном шаге .

Введем функцию:

. (7.7.5)

Разложение функции  в ряд Тейлора в окрестности  будет иметь вид:

 (7.7.6)

где  – величина, имеющая более высокий порядок малости, чем . Коэффициенты  задают таким образом, чтобы функция  обладала следующими свойствами:

       (7.7.7)

при возможно больших  для любых  и .

 

Формула Эйлера

Если в (7.7.3) положить , то получим:

.                     (7.7.8)

Тогда

     (7.7.9)

и при  

При этом  тогда и только тогда, когда , а , вообще говоря, в нуль не обращается. Тогда приближенное решение в точке  согласно (7.7.8) будет определяться следующим образом:

Формула Эйлера для значения функции решения в произвольной точке будет иметь вид:

             (7.7.10)

 

Формула Рунге-Кутта

Существует несколько формул Рунге-Кутта для решения дифференциального уравнения первого порядка, которые получены при различных значениях . Наиболее распространенной является формула Рунге-Кутта при , которая имеет следующий вид:

, (7.7.11)

где

               (7.7.12)

и .

Методы Эйлера и Рунге-Кутта можно использовать также и для моделирования в неравноотстоящих точках.

 

Правило Рунге

 

Функция  в (7.7.5) имеет следующий смысл: это разность между точным и приближенным приращениями решения дифференциального уравнения в точке . Тогда, учитывая (7.7.6) и (7.7.7), можно записать уравнение погрешности функции решения в одной точке следующим образом:

    (7.7.13)

где  – главный член погрешности. Число шагов, которые необходимо сделать до произвольной точки , обратно пропорционально шагу , т.е.  и погрешность в произвольной точке  будет иметь смысл произведения погрешности на шаге  на число шагов , т.е. .

Если главный член погрешности можно записать в виде , то говорят, что порядок погрешности метода равен . На практике в качестве погрешности приближенного решения берут главный член погрешности:

.                      (7.7.14)

Рассмотренные методы имеют порядок погрешности на шаге, равный , а порядок погрешности метода – . Для метода Эйлера , а для метода Рунге-Кутта . Таким образом, при моделировании методом Эйлера результаты получаются с погрешностью порядка , а методом Рунге-Кутта с погрешностью порядка .

Оценка погрешности методов Эйлера и Рунге-Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности можно получить, используя правило Рунге.

Пусть  – точное решение в точке  – приближенное решение в точке , найденное с шагом ,  – приближенное значение в точке , найденное с шагом , и пусть погрешность приближенного решения определяется формулой:

.

Тогда справедливы следующие равенства:

,

.

Приравнивая правые части этих равенств, получим:

и

.                 (7.7.15)

Таким образом, грубую оценку погрешности на интервале  можно получить с помощью двойного счета по формулам Эйлера и Рунге-Кутта и в качестве оценки погрешностей использовать величины:

· для метода Эйлера

            (7.7.16)

· для метода Рунге-Кутта

.               (7.7.17)

Кроме того, для контроля правильности выбора шага  рекомендуется вычислять величину:

                  (7.7.18)

 

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: