Метод сеток решения линейных краевых задач

 

Наряду с задачами Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений достаточно часто рассматриваются также граничные задачи. В этих задачах дополнительные условия, которым должно удовлетворять решение, задаются в виде уравнений, содержащих комбинации значений решения и его производных, взятых в нескольких точках рассматриваемого отрезка . Простейшими среди граничных задач являются краевые задачи, когда дополнительные условия задаются только на концах отрезка . Если дифференциальное уравнение и уравнения, определяющие дополнительные условия, являются линейными, то граничная задача называется линейной.

Пусть на отрезке  задана линейная краевая задача для дифференциального уравнения

          (7.7.32)

с условиями

             (7.7.33)

где  линейные операторы.

Метод сеток для решения краевой задачи (7.7.32), (7.7.33) состоит в следующем.

1. На отрезке  выбирается некоторая система точек . Совокупность этих точек называется сеткой, а точки  называются узлами сетки. Достаточно часто используют равномерную сетку узлов, когда  заданное целое число.

2. Краевая задача (7.7.32), (7.7.33) на множестве узлов, принадлежащих сетке, заменяется некоторой сеточной задачей, то есть некоторыми соотношениями между приближенными значениями решения краевой задачи (7.7.32), (7.7.33) в узлах сетки.

3. Сеточная задача решается каким-либо численным методом. Это позволяет найти приближенные значения решения краевой задачи в узлах сетки.

Метод сеток является одним из наиболее универсальных как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных. Рассмотрим этот метод в применении к решению линейных краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка.

Пусть линейная краевая задача задана в виде:

, (7.7.34)

.             (7.7.35)

На интервале [а,b] зададим равномерную сетку узлов  и обозначим  значения приближенного решения в точках . В дифференциальном уравнении (7.7.34) производные заменим разностными отношениями:

                      (7.7.36)

                (7.7.37)

Тогда, записав уравнение (7.7.34) для точки  и заменив производные в этой точке согласно (7.7.36), (7.7.37), получим систему линейных алгебраических уравнений вида:

     (7.7.38)

где  получены приведением подобных членов после замены производных. Система (7.7.38) является системой с трехдиагональной матрицей. Для решения таких систем используется метод прогонки. Согласно этому методу решение системы записывается в виде:

                 (7.7.39)

где  и  – неизвестные коэффициенты, которые называются прогоночными.

Так как, при  и

то

При  имеем

,

а из уравнения системы (7.7.38)

или

.

Тогда для определения прогоночных коэффициентов получаются следующие рекуррентные соотношения:

.    (7.7.40)

Решение системы (7.7.38) находится в обратном порядке следующим образом:

          (7.7.41)

Для того, чтобы получить решение задачи (7.7.34), (7.7.35) в аналитической форме, необходимо аппроксимировать значения  некоторой функцией.

Существуют и другие методы решения граничных задач, получающие решение, как в виде таблицы, так и в виде аналитической функции, например, в виде отрезка некоторого ряда.

 

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

Поделиться: