Методы Адамса при решении задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

 

Методы Эйлера и Рунге-Кутта являются одношаговыми, так как при вычислении решения в точке  они используют информацию о значении функции решения только в одной точке . Существуют методы, которые позволяют часть полученной информации использовать повторно на нескольких шагах вычислительного процесса. Это так называемые многошаговые методы. При этом иногда оказывается целесообразным привлекать также и информацию с «забеганием» вперед.

Рассмотрим решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка (7.7.1).

Пусть:

1) узлы являются равноотстоящими ;

6) для нахождения решения в точке  требуется знание приближенного решения в  предыдущих точках .

Точки  образуют начальный отрезок. Решение на начальном отрезке может быть найдено другим методом, например, методом Рунге-Кутта.

Пусть известно решение в точках  и требуется найти решение в точке . Проинтегрируем исходное уравнение  на отрезке :

.

Тогда

. (7.7.28)

Для подынтегральной функции  построим интерполяционный многочлен  и подставим его в (7.7.28). Так как значение интерполяционного многочлена вычисляется на отрезке , то в качестве такого многочлена выберем формулу Ньютона для интерполирования назад, и, в зависимости от того, какую точку привлекают первой при построении интерполяционного многочлена, получаются различные формулы для решения дифференциального уравнения.

Если вместо функции  в (7.7.28) подставить , точные значения  заменить на приближенные  и проинтегрировать, то получим конкретные формулы Адамса. Наиболее распространенными являются формулы для  

 

Экстраполяционная формула Адамса

Если для построения интерполяционного многочлена  используются значения функции  в узлах , то

Тогда для вычисления значения решения дифференциального уравнения (7.7.1) в точке  получим экстраполяционную формулу Адамса, которая имеет вид:

. (7.7.29)

Здесь .

Интерполяционная формула Адамса

Если для построения интерполяционного многочлена  используются значения функции  в узлах , то

и для вычисления значения решения дифференциального уравнения (7.7.1) в точке  получим интерполяционную формулу Адамса, которая имеет вид:

. (7.7.30)

Заметим, что интерполяционная формула (7.7.30) представляет собой уравнение относительно . Одним из методов решения этого уравнения является метод последовательных приближений:

,   (7.7.31)

где , начальное значение  задается, например, с помощью экстраполяционной формулы Адамса,

Методы Адамса дают результат с погрешностью порядка . Практическая оценка погрешности приближенного решения может быть получена с помощью правила Рунге.

 

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться: