Оптимальное управление при минимизации классического квадратичного функционала

 

Согласно методу аналитического конструирования Летова-Калмана, оптимальное управление объектом (8.1.5), минимизирующее квадратичный функционал:

,  (8.2.4)

имеет вид:

,                 (8.2.5)

где функция  является решением нелинейного уравнения в частных производных

,     (8.2.6)

при граничном условии

.                  (8.2.7)

В (8.2.4.)  - заданная положительно определенная матрица.

Решение задачи (8.2.6)–(8.2.7) ищется в виде квадратичной формы:

,                     (8.2.8)

где  – симметрическая матрица. Тогда

,               (8.2.9)

а матрица  является решением нелинейного дифференциального уравнения Риккати с переменными коэффициентами:

 (8.2.10)

при граничном условии

.                              (8.2.11)

Таким образом, при синтезе оптимального управления методом аналитического конструирования Летова-Калмана необходимо для каждого момента  формирования управляющих воздействий решать в обратном времени уравнение (8.2.10) при условии (8.2.11). Теория решения матричного уравнения Риккати достаточно хорошо разработана. Однако при практическом применении необходимость решения в обратном времени матричного дифференциального уравнения Риккати делает затруднительным использование этого метода синтеза в процессе функционирования объекта из-за больших затрат времени на получение результата. Кроме того, для нестационарных систем редко удается указать обоснованные требования к состоянию объекта в фиксированный момент , т.е. обоснованно назначить квадратичную форму . Поэтому чаще всего рассматривают функционал (8.2.4) в виде:

.       (8.2.12)

При этом граничное условие для решения уравнения Риккати (8.2.11) принимает вид:

.                              (8.2.13)

В случае стационарной модели (8.1.5) ( ) оптимальное управление, обеспечивающее минимум функционала:

,

имеет вид:

,

где  - положительно определенная матрица, удовлетворяющая матричному алгебраическому уравнению Риккати:

.

Решение алгебраического уравнения Риккати заменяется определением с заданной точностью установившегося решения дифференциального уравнения Риккати:

при нулевом начальном условии.

Синтез управляющих воздействий, который осуществляется в реальном времени в процессе функционирования объекта, называется совмещенным синтезом. В этом случае большое значение имеет временная задержка, вызванная затратами времени на формирование управляющего сигнала. Время формирования управления при АКОРе Летова-Калмана зависит от двух факторов: величины интервала оптимизации  и времени, которое затрачивается на решение уравнения Риккати. Целенаправленное изменение каждой из этих величин приводит к уменьшению вычислительной задержки при формировании управляющего сигнала.

⇐ Предыдущая14151617181920212223Следующая ⇒

Поделиться: