Синтез оптимального управления

⇐ ПредыдущаяСтр 23 из 31Следующая ⇒

Рассмотрим совмещенный синтез цифрового управления на основе оптимизации критериев классического квадратичного (8.2.40), обобщенной работы (8.2.42) и локального (8.2.45) при слежении за заданным состоянием . При этом, если решается задача стабилизации, то полагаем .

Кроме того, будем предполагать, что:

1. все временные переменные кратны ;

2. моменты и периоды квантования одинаковы для всех координат объекта;

3. цифровая система формирует вектор управления с моментом и периодом квантования, которые совпадают с моментом и периодом поступления информации об объекте;

4. управления являются кусочно-постоянными функциями на каждом интервале выдачи управляющих воздействий

, .

Пусть в управляющем компьютере модель объекта представлена в виде:

(8.3.20)

или

(8.3.21)

где

, . (8.3.22)

Форма представления модели объекта зависит от решаемой задачи управления: управление положением органов управления или управление скоростью отклонения органов управления.

Синтез управляющих воздействий в процессе функционирования объекта накладывает определенные ограничения на его реализацию. Основным ограничением является то, что при формировании управления в момент известна информация о поведении объекта в предыдущие моменты времени и не известна в последующие. В связи с этим будем рассматривать алгоритмы синтеза управляющих воздействий, учитывающие эти ограничения и предназначенные для совмещенного синтеза.

Синтез управляющих воздействий по классическому квадратичному критерию

Если модель объекта (8.3.20) является стационарной, то управление, формируемое на -ом такте (в момент ) на основе минимизации функционала (8.2.40), имеет вид:

, (8.3.23)

где матрица является решением уравнения Риккати, которое путем замены переменной можно записать в прямом времени:

(8.3.24)

При этом можно искать установившееся решение уравнения (8.3.24) по следующему итерационному алгоритму:

(8.3.25)

и, при выполнении условия:

, (8.3.26)

полагать . В (8.2.23)–(8.2.26) , , – заданная точность решения уравнения Риккати. Заметим, что уравнение (8.3.25) записано с помощью матриц дискретной системы, которая получена из непрерывной методом Эйлера.

Если модель объекта (8.3.20) является нестационарной, то запишем минимизируемый функционал с использованием скользящего интервала оптимизации, то есть:

, (8.3.27)

и поведение объекта на скользящем интервале оптимизации описывать стационарной системой вида:

(8.3.28)

которую будем называть прогнозирующей моделью, а «М» указывает на принадлежность прогнозирующей модели.

Тогда управление, формируемое на -ом такте, запишется в виде:

, (8.3.29)

где – решение уравнения Риккати, которое в силу описания модели объекта на интервале оптимизации с помощью стационарной прогнозирующей модели можно записать в прямом времени и решать итерационным методом:

(8.3.30)

При этом матрица определяется следующим образом:

(8.3.31)

Синтез управляющих воздействий по квадратичному

критерию обобщенной работы

Для модели объекта (8.3.21) функционал обобщенной работы запишем для скользящего интервала оптимизации :

(8.3.32)

и будем описывать поведение объекта на интервале оптимизации с помощью стационарной прогнозирующей модели, характеризующей «свободное» движение объекта ( ):

(8.3.33)

Тогда управление будет иметь вид:

, (8.3.34)

где определяется решением в обратном времени системы обыкновенных дифференциальных уравнений (8.2.44) на интервале оптимизации . Так как решение этой системы зависит от значений состояния прогнозирующей модели на интервале , то сначала, решая в прямом времени уравнение (8.3.33), определяется состояние прогнозирующей модели в конечный момент интервала оптимизации , а затем определяется решением в обратном времени системы разностных уравнений вида:

(8.3.35)

где первое уравнение описывает движение прогнозирующей модели (8.3.33) в обратном времени.

Синтез управляющих воздействий по локальному

квадратичному критерию

Для модели объекта (8.3.20) локальный квадратичный критерий запишется следующим образом:

(8.3.36)

Управление, формируемое на основе минимизации этого критерия, имеет вид:

. (8.3.37)

Качество функционирования системы уравнения зависит от весовых матриц рассматриваемых критериев, определение которых осуществляется на этапе предварительного проектирования путем коррекции элементов весовых матриц и анализа получаемых при этом переходных процессов и управлений.

Для выбора весовых матриц и локального критерия (8.3.36) можно воспользоваться методом случайного поиска или назначить их исходя из каких-либо конструктивных соображений с учетом свойств управляемого объекта. Достаточно хорошо работает следующая методика.

Запишем для (8.3.20) систему вида:

(8.3.38)

где , – некоторые постоянные матрицы, например, , . Используя принцип равного вклада максимальных отклонений, выбираются весовые матрицы для суммарного критерия:

(8.3.39)

в предположении, что требования к качеству функционирования системы управления для всех задаются в виде неравенств для компонент векторов состояния и управления:

, ,

, .

Тогда полагают

где – диагональная матрица соответствующей размерности с указанными элементами на главной диагонали. Весовые матрицы и локального критерия полагаются равными: