Оптимальное управление при минимизации функционала обобщенной работы

 

Термин «критерий обобщенной работы» был введен А.А. Красовским. В этом случае минимизируемый функционал задается в виде:

  (8.2.14)

где – оптимальное управление, доставляющее минимум функционалу (8.2.14), которое имеет вид:

,          (8.2.15)

а  является решением линейного управнения в частных производных

      (8.2.16)

при граничном условии

.                 (8.2.17)

Если искать решение задачи (8.2.16)–(8.2.17) в виде квадратичной формы:

,                      (8.2.18)

то

,       (8.2.19)

где  является решением линейного матричного дифференциального уравнения Ляпунова

    (8.2.20)

Вычислительные затраты при решении уравнения Ляпунова в силу его линейности значительно сокращаются по сравнению с решением уравнения Риккати. Недостатком этого метода является то, что управление (8.2.15) является оптимальным при «свободном» движении объекта, т.е. при . При этом понятно, что поведение объекта при нулевом управлении (нулевом положении органов управления), может очень сильно отличаться от реального управляемого поведения на интервале оптимизации и приводить в область пространства состояний, далекую от реально достигаемой.

Лучшие результаты можно получить, если «свободным» считать поведение объекта при фиксированном положении органов управления. При этом задача управления формулируется как управление скоростью перемещения регулирующих органов, а модель объекта представляется в виде:

  (8.2.21)

где  – вектор положения органов управления, а  – вектор управления, характеризующий скорость перемещения органов управления.

Заметим, что (8.2.21) можно записать в традиционной форме, как задачу управления положением органов управления, если ввести расширенный вектор состояния . Тогда (8.2.21) запишется в виде:

,      (8.2.22)

где  и  – блочные матрицы вида:

.       (8.2.23)

Здесь  – нулевые матрицы соответствующих размерностей,  – единичная матрица порядка .

Кроме того, учитывая сложность определения терминального слагаемого, функционал обобщенной работы для системы (8.2.22) запишем в виде:

, (8.2.24)

где  - весовая матрица порядка , которая имеет блочный вид:

,                         (8.2.25)

а управление  определяется следующим образом:

.        (8.2.26)

Здесь  – неотрицательно определенные, а  – положительно определенная весовые матрицы.

Минимизируемый функционал обобщенной работы для модели (8.2.21) запишется в виде:

(8.2.27)

а модель, описывающая «свободное» движение объекта на интервале оптимизации, которую будем называть прогнозирующей моделью, есть

  (8.2.28)

где  – указывает на принадлежность прогнозирующей модели.

Тогда

,                     (8.2.29)

где функция  удовлетворяет уравнению:

. (8.2.30)

Заметим, что (8.2.30) справедливо на траектории движения модели (8.2.28).

Распишем в (8.2.30) полную производную функции :

(8.2.31)

и обозначим

,    (8.2.32)

-мерный и -мерный векторы-столбцы.

Тогда на траектории движения модели (8.2.28) полные производные для  и  будут равны:

                     (8.2.33)

Если продифференцировать (8.2.31) последовательно по ,  и подставить уравнения для модели (8.2.28), то, с учетом обозначений (8.2.32), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

(8.2.34)

Решая систему (8.2.34) в обратном времени, найдем управление в момент , которое будет равно:

.                     (8.2.35)

⇐ Предыдущая15161718192021222324Следующая ⇒

Поделиться: