Оценивание состояния модели объекта

⇐ ПредыдущаяСтр 24 из 31Следующая ⇒

Так как в реальных условиях управление объектом осуществляется по результатам измерений, а все измерения осуществляются с погрешностью, и, кроме того, в модели объекта могут существовать компоненты вектора состояния, недоступные измерению, то для формирования управляющих воздействий необходимо осуществлять оценивание вектора состояния. Так как информация о модели объекта поступает с измерительного комплекса в дискретные моменты времени, то будем строить оценку вектора состояния по результатам текущих измерений .

Основные подходы к построению оценок векторов состояния состоят в следующем. Предположим, что для некоторой системы состояние недоступно непосредственному измерению, а получены последовательные измерения . Обозначим оценку , полученную на основе этих измерений, через и определим ее как -мерную вектор-функцию измерений

Задача построения оценки для состояния представляет собой задачу определения функции некоторым рациональным и обоснованным способом.

Если , то задача построения оценки называется задачей предсказания, если , то такая задача называется задачей фильтрации, если , то получаем задачу сглаживания или интерполяции.

Рассмотрим функцию ошибки оценки

и обозначим через функцию потерь или штрафов. Эта функция должна обладать следующими свойствами:

3. быть скалярной функцией;

4. ;

5. быть неубывающей функцией расстояния от начала координат;

6. быть симметричной относительно нуля.

Функция , обладающая такими свойствами, называется допустимой функцией потерь.

Определим критерий качества оценивания как среднее значение функции потерь:

Говорят, что оценка , минимизирующая , является «наилучшей» или оптимальной. Заметим, что оптимальная оценка минимизирует среднее значение функции потерь, то есть является «оптимальной в среднем».

Пусть

Соответствующий этой функции потерь критерий качества оценки называется среднеквадратической ошибкой, так как есть среднее значение квадрата евклидовой меры вектора ошибки.

Для построения оценки вектора состояния используются различные подходы. Будем строить рекуррентный алгоритм статистической обработки типа фильтра Калмана, осуществляющий оценивание состояния по результатам текущих измерений.

Пусть математические модели объекта и канала измерений имеют вид:

(8.4.13)

(8.4.14)

где и – независимые гауссовские последовательности с характеристиками:

(8.4.15)

Кроме того, предполагается, что априорное распределение вектора является гауссовским:

, (8.4.16)

где – дисперсионная матрица ошибок оценивания начального состояния.

Обозначим оценку фильтрации, полученную по результатам измерений через . При принятых предположениях задача оптимальной фильтрации может быть сформулирована следующим образом. Располагая последовательностью векторов измерений , моделью которых является система уравнений (8.4.13), (8.4.14), требуется определить оценку вектора состояния , удовлетворяющую требованиям несмещенности

(8.4.17)

при минимальной дисперсии ошибок оценки.

Обозначим

(8.4.18)

ошибку оценки и

(8.4.19)

дисперсионную матрицу ошибки оценки.

Тогда критерий оптимальности запишется в виде:

, (8.4.19)

где – обозначает след матрицы.

Будем строить оптимальную оценку по текущему измерению в виде:

(8.4.20)

где вектор

(8.4.21)

является экстраполированной оценкой вектора состояния , – матрица коэффициентов усиления фильтра.

Таким образом, задача построения оптимальной оценки дискретной системы (8.4.13) сводится к задаче определения такой матрицы , при которой оценка удовлетворяет условиям (8.4.17) при ограничениях (8.4.13)–(8.4.14), (8.4.20)–(8.4.21) и обеспечивает минимум критерия (8.4.19).

Заметим, что выражение (8.4.20) объединяет множество фильтров, различающихся законом изменения матриц коэффициентов усиления, и характеризует рекуррентную форму выработки оценок состояния.

Получим уравнение для вектора ошибки оценки . Для этого подставим в (8.4.20) выражение (8.4.21) и вычтем (8.4.13) с учетом (8.4.14). Тогда (в дальнейшем для сокращения записи опустим аргумент везде, кроме векторов ошибок и дисперсионных матриц):