Моделирование поведения управляемого объекта

 

При проведении имитационных экспериментов для определения качества синтезируемого управления необходимо моделировать поведение управляемого объекта. Будем предполагать, что поведение объекта описывается системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений вида:

.         (8.3.1)

Моделирование будем осуществлять в предположении, что шаг дискретизации  совпадает с периодом квантования управляющего сигнала, а момент дискретизации  – с моментом приложения управляющих воздействий. Причем управление является кусочно-постоянным на каждом интервале выдачи управляющих воздействий, то есть

.                  (8.3.2)

Тогда можно ограничиться описанием поведения объекта в моменты квантования и записать дискретный аналог для системы (8.3.1) в виде:

, (8.3.3)

где  – фундаментальная матрица решений соответствующей однородной системы.

По свойству фундаментальной матрицы:

.    (8.3.4)

Согласно свойству матричной экспоненты и, учитывая, что , (8.3.4) можно представить в виде ряда:

,               (8.3.5)

где  – единичная матрица порядка .

Тогда, вычислив интеграл в (8.3.3) по формуле левых прямоугольников, дискретную систему (8.3.3) можно записать в разностной форме следующим образом:

,         (8.3.6)

где

,                      (8.3.7)

,                   (8.3.8)

 – соответствует моменту времени .

Представление матричной экспоненты в виде ряда (8.3.5) позволяет достаточно легко регулировать точность построения соответствующей дискретной системы, которую можно определять точностью вычисления фундаментальной матрицы для следующей системы:

.             (8.3.9)

Дискретный аналог этой системы имеет вид:

,        (8.3.10)

где

.                  (8.3.11)

Если обозначить через  сумму  первых членов ряда (8.3.11), то матрица  аппроксимирует  с погрешностью порядка . При этом число слагаемых в  можно задавать заранее (вычисление с фиксированной точностью) или определять автоматически с помощью соотношения

,                 (8.3.12)

где  выбирается, например, из условия обеспечения максимальной точности вычислений на ЭВМ конкретного типа.

Если модель объекта задана в виде:

     (8.3.13)

где  – вектор положения органов управления, а  – вектор управления, то дискретная система для (8.3.13) получается, аналогично предыдущему, при введении расширенного вектора состояния  и записи (8.3.13) в виде системы с блочными матрицами:

, (8.3.14)

где

, . (8.3.15)

Здесь  – нулевые матрицы соответствующей размерности, . Тогда система разностных уравнений для (8.3.13) примет вид:

(8.3.16)

где  и  определяются согласно (8.3.7) и (8.3.8) и

.           (8.3.17)

Полученные соотношения являются общими. Так, если при вычислении матриц отбросить все слагаемые, порядок малости которых превышает , то полученные соотношения будут соответствовать моделированию поведения управляемого объекта методом Рунге-Кутта. А если отбросить слагаемые, имеющие порядок малости выше , то применяется метод Эйлера.

При малом значении  для моделирования достаточно часто используется метод Эйлера. В этом случае получаются достаточно простые соотношения для вычисления матриц дискретной системы:

(8.3.18)

и система (8.3.16) имеет вид:

(8.3.19)

Моделирование поведения объекта в случае нестационарной модели (например, моделирование самолета на взлете) можно осуществлять следующим образом. На траектории движения объекта задаются значения матриц (или элементов этих матриц), характеризующих модель объекта в некоторые моменты времени , . Нестационарная модель в каждый момент времени  строится по заданным характеристикам, используя методы приближения данных: интерполирование, сплайн-функции, аппроксимацию по методу наименьших квадратов и т.д.

 

⇐ Предыдущая17181920212223242526Следующая ⇒

Поделиться: