Построение математических моделей   производства, хранения и сбыта товара повседневного спроса

 

Введем следующие обозначения:

 - общее количество единиц товара, выпущенных предприятием;

 - темп производства;

 - количество товара на рынке;

 - количество товара у потребителя (еще не потребленного);

 - доход;

 - потенциальный спрос (полное количество товара, способное мгновенно удовлетворить спрос в условиях отсутствия ажиотажного спроса);

 - коэффициент, характеризующий превышение цены над себестоимостью ( , так как себестоимость считается равной единице);

 - коэффициент, характеризующий темп потребления;

 - коэффициент, характеризующий плату за хранение товара;

 - коэффициент, характеризующий скорость продажи товара, например,  отражает распределение по достатку.

Параметры , ,  считаются постоянными. Величины  и  назначаются производителем и могут быть как постоянными, так и переменными. Переменные , , ,  - функции времени, которые могут изменяться в соответствии с законами рынка.

Статическая модель описывает один цикл производства и сбыта: выработанный за расчетную единицу времени товар поступает на рынок и продается, в результате чего получается определенный доход. Статическая модель строится, исходя из предположения, что в равновесном состоянии система характеризуется двумя соотношениями баланса:

поступившее на рынок количество товара равно проданному;

сколько товара продано, столько и потреблено.

Эти соотношения с учетом введенных обозначений запишутся следующим образом: за единицу времени прирост товара на рынке составляет  единиц; количество товара на рынке –  единиц; у потребителя –  единиц; в единицу времени продается  единиц товара, где  текущий спрос. При этом скорость продажи пропорциональна спросу и количеству товара на рынке. Тогда статическая модель процесса производства, хранения и сбыта товара запишется в виде:

    (9.3.1)

Последнее уравнение показывает, что доход в единицу времени складывается из выручки от продаж  единиц товара, расходов на производство и затрат на хранение.

Динамическая модель строится следующим образом. Так как за время  прирост произведенного товара равен , а продается  единиц товара, то скорость прироста товара на рынке равна:

.

Прирост товара у потребителя за время  равен количеству проданного товара минус количество потребленного, т.е. скорость прироста товара у потребителя описывается уравнением:

.

Таким образом, динамическая модель, описывающая процесс производства, хранения и сбыта, имеет вид:

(9.3.2)

Заметим, что статическая модель (9.3.1) может быть получена из динамической (9.3.2) путем приравнивания нулю правых частей в (9.3.2). Поэтому статическая модель может рассматриваться как частный случай динамической, отражающей состояние динамического равновесия.

Перепишем динамическую модель (9.3.2) в терминах теории автоматического управления.

Пусть  - вектор состояния, где , , , ;  - управление, задающее темп производства. Тогда система (9.3.2) запишется следующим образом:

,                        (9.3.3)

где  - вектор-функция вида:

(9.3.4)

Система (9.3.3) является нелинейной нестационарной детерминированной моделью процесса производства, сбыта и хранения товара.

Для того чтобы получить линейную систему, (9.3.3) запишем:

(9.3.5)

или

,               (9.3.6)

где ,  - номинальные траектория и управление (например, характеристики, соответствующие плановым, расчетным, прогнозируемым показателям);

, (9.3.7)

.                      (9.3.8)

Для учета колебаний рынка, поведения покупателей, погрешности линеаризации и т.д., добавим в систему (9.3.6) вектор гауссовских шумов  с матрицей влияния , компоненты которой, например, можно определить для конкретного предприятия экспериментально. Тогда математическая модель, описывающая процесс производства, сбыта и хранения товара, запишется в виде системы линейных нестационарных стохастических дифференциальных уравнений:

,     (9.3.9)

где , ,  - -функция Дирака.

В терминах теории автоматического управления система (9.3.9) сформулирована для решения задачи управления положением рулей (в данном случае темпом производства). Можно решать задачу управления скоростью отклонения рулей. В данном случае это будет задача управления изменением темпа производства, математическая модель которой может быть описана следующей системой линейных нестационарных стохастических дифференциальных уравнений:

   (9.3.10)

где  - вектор состояния,  - темп производства,  - вектор внешних возмущений,  - управление, задающее изменение темпа производства;

,

,

 матрица соответствующей размерности, описывающая влияние случайных факторов в модели (9.3.10).

 

⇐ Предыдущая22232425262728293031Следующая ⇒

Поделиться: