Модуль 4: Квадратичные формы

Лекции 15–16. Квадратичная форма в евклидовом пространстве и связанный с ней симметричный оператор. Изменение матрицы квадратичной формы при замене переменных. Канонический вид квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Канонический вид квадратичной формы в ортонормированном базисе из собственных векторов этого оператора. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм (без док-ва).  Знакоопределенность квадратичных форм и их матриц. Критерий Сильвестра (без док-ва).

ОЛ-2 гл.8 п.8.1 – 8.6; ОЛ-4 гл.7 пар.2-4, 6; ОЛ-5 гл.8 пар. 2-3.

Лекция 17. Общие уравнения кривых и поверхностей второго порядка, их приведение к каноническому виду. Классификация кривых и поверхностей второго порядка.

ОЛ-2 гл.9 п.9.1 – 9.6; ОЛ-4 гл.7 пар.6-7.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Модуль 1: Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений

Занятие 1. Нахождение ранга матрицы.

Ауд.: ОЛ-3 гл.3: № 3.150; 3.154; 3.156; 3.159; 3.163; 3.166.

Дома: ОЛ-3 гл.3: № 3.151; 3.153; 3.157; 3.165; 3.168.

Занятие 2. Решение систем линейных однородных уравнений.

Ауд.: ОЛ-3 гл.3: № 3.223; 3.224; 3.225; 3.228; 3.235; 3.230.

Дома: ОЛ-3 гл.3: № 3.226; 3.227; 3.229; 3.231; 3.232; 3.234.

Занятия 3–4. Решение систем линейных неоднородных уравнений.

Ауд.: ОЛ-3 гл.3: № 3.206; 3.210; 3.208; 3.239; 3.218; 3.220.

Дома: ОЛ-3 гл.3: № 3.207; 3.209; 3.211; 3.212; 3.236; 3.238; 3.219; 3.221.

Занятие 5. Рубежный контроль по модулю 1.

Модуль 2: Линейные и евклидовы пространства

Занятие 6. Линейные пространства, размерность, базис. Матрица перехода от одного базиса к другому. Изменение координат вектора при переходе к новому базису.

Ауд.: ОЛ-3 гл.4: № 4.1 – 4.9 (неч); 4.15; 4.17; 4.18; 4.23; 4.25; 4.30; 4.37.

Дома: ОЛ-3 гл.4: № 4.2 – 4.10 (чет); 4.16; 4.20; 4.24; 4.28; 4.31; 4.38.

Занятие 7. Ранг системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Подпространство линейного пространства.

Ауд.: ОЛ-3 гл.4: № 4.19; 4.21; 4.45; 4.47; 4.52; 4.54.

Дома: ОЛ-3 гл.4: № 4.46; 4.48; 4.51; 4.53.

Занятие 8. Евклидово пространство. Процесс ортогонализации.

Ауд.: ОЛ-3 гл.4: № 4.67; 4.71; 4.74.

Дома: ОЛ-3 гл.4: № 4.69; 4.72; 4.76.

Занятие 9. Рубежный контроль по модулю 2.

Модуль 3: Линейные операторы

Занятие 10. Линейные операторы и их матрицы.

Ауд.: ОЛ-3 гл.4: № 4.86; 4.89; 4.90; 4.91; 4.94; 4.97.

Дома: ОЛ-3 гл.4: № 4.85; 4.87; 4.92; 4.93; 4.95; 4.99.

Занятие 11. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

Ауд.: ОЛ-3 гл.4: № 4.106(а); 4.107; 4.135; 4.137; 4.139; 4.140.

Дома: ОЛ-3 гл.4: № 4.106 (б); 4.134; 4.136; 4.138; 4.141.

Занятие 12. Матрица сопряженного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.

Ауд.: ОЛ-3 гл.4: № 4.151; 4.176; 4.175; 4.183; 4.186.

Дома: ОЛ-3 гл.4: № 4.152; 4.177; 4.174; 4.184.

Занятие 13. Рубежный контроль по модулю 3.

Модуль 4: Квадратичные формы

Занятие 14. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.

Ауд.: ОЛ-3 гл.4: № 4.213; 4.214; 4.215.

Дома: ОЛ-3 гл.4: № 4.216.

Занятие 15. Приведение уравнения линии второго порядка и поверхности второго порядка к каноническому виду.

Ауд.: ОЛ-3 гл.4: № 4.226; 4.228; 4.235; 4.237.

Дома: ОЛ-3 гл.4: № 4.227; 4.229; 4.233; 4.239.

Занятие 16. Контрольная работа «Квадратичные формы».

Занятие 17. Приведение квадратичной формы методом Лагранжа к нормальному виду. Знакоопределенность квадратичной формы.

Ауд.: ОЛ-3 гл.4: №  4.210; 4.211; 4.218; 4.221; 4.223.

Дома: ОЛ-3 гл.4: № 4.212; 4.219; 4.220; 4.224.

Контрольные мероприятия

Модуль 1: Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений (5 неделя, максимум 16 баллов, минимум 8 баллов).

Рубежный контроль по модулю 1 (5 неделя).

Модуль 2: Линейные и евклидовы пространства (9 неделя, максимум 20 баллов, минимум 10 баллов).

Домашнее задание №1 «Линейные и евклидовы пространства» (выдача 6 неделя, прием 9 неделя).

Рубежный контроль по модулю 2 (9 неделя).

Модуль 3: Линейные операторы (13 неделя, максимум 26 баллов, минимум 14 баллов).

Рубежный контроль по модулю 2 (13 неделя).

Модуль 4: Квадратичные формы (17 неделя, максимум 28 баллов, минимум 14 баллов)

Домашнее задание №2 «Приложения квадратичных форм» (выдача 13 неделя, прием 17 неделя).

Рубежный контроль по модулю 2 (17 неделя).

Типовые задания

Домашнее задание №1. «Линейные и евклидовы пространства»

Модуль 2, литература МП-1, МП-2.

Задача 1 (2 балла). В линейном пространстве  свободных векторов выбран правый орто­нор­мированный базис , , . Этот базис поворачивается вокруг заданного вектора  (это один из базисных векторов) на заданный угол  в указанном направлении (положительном или отрицательном), а затем вокруг вектора  (один из базисных векторов в новом положении) на заданный угол  в указанном направлении. В результате получается новый базис , , . Найти матрицу перехода из старого базиса в новый.

Вариант: , , , .

Задача 2 (4 балла). В евклидовом пространстве  задан базис , , ,  (координаты этих векторов определены в стандартном базисе) и два вектора  и  (их координаты определены в заданном базисе ).

1. Применяя процесс ортогонализации, построить по базису  новый ортонор­ми­рованный базис .

2. Найти матрицу перехода от нового базиса  к старому базису .

3. Найти координаты векторов  и  в базисе .

4. Вычислить скалярное произведение .

5. Вычислить угол между векторами  и .

Вариант:

, , , , ,

Домашнее задание №2 «Приложения квадратичных форм»

Модуль 4, литература МП-1, МП-2, МП-3.

Уравнение а) линии второго порядка на плоскости в системе координат  и уравнения б) поверхности второго порядка в пространстве в системе координат  привести к каноническому виду, указав:

1) одно из преобразований перехода от заданной системы координат к канонической системе координат (собственные числа ортогонального преобразования расположить в порядке возрастания) ;

2) канонический вид уравнения линии и поверхности, значения всех параметров, характеризующих форму линии и поверхности ;

3) на плоскости построить исходную систему координат , каноническую систему координат , эскиз линии; для центральной линии найти координаты центра, вершин, фокусов, уравнения асимптот (для гиперболы), а для параболы — координаты вершины, фокуса, уравнение директрисы;

4) поверхность построить в канонической системе координат.

Вариант:

а) ; — 4 балла

б) .— 6 баллов

⇐ Предыдущая17181920212223242526Следующая ⇒

Поделиться: