Наращение по простым процентным ставкам

Тема 2. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

 

1. Экономическая сущность основных характеристик финансовых сделок

2. Наращение по простым процентным ставкам

3. Дисконтирование по простым процентным ставкам

4. Оценка эффективности валютно-обменных операций с последующим наращением. Производные вычисления

1.Экономическая сущность основных характеристик финансовых сделок

 

В процессе управления финансами возникает потребность в оценке эффективности и рискованности финансовой сделки. При этом ключевыми характеристиками любой финансовой операции выступают:

1) денежные платежи;

2) временные параметры;

3) процентные ставки.

Каждая из указанных характеристик может быть представлена по-разному.

Так, платежи могут быть:

а) единовременными или в рассрочку (т.е. погашаемые по частям);

б) постоянными (равными суммами) или переменными во времени.

Временные параметры могут устанавливаться в виде фиксированных сроков (конкретная дата платежа), интервалов поступления (до 22 числа месяца следующего за отчетным), моментов поступления (в день выплаты заработной платы). Необходимость учета данного фактора вытекает из сущности финансов и выражается в принципе изменения ценности денег во времени.

Под процентной ставкой понимают относительную величину, выступающую измерителем финансовой операции. В кредитных операциях, например, она определяется как отношения дохода, полученного от предоставления денег во временное пользование, к первоначальной сумме долга.

Процентные ставки классифицируются:

1. В зависимости от базы начисления:

а) простые, по которым начисление процентов производится исключительно на постоянную сумму финансовой операции (например, на первоначальную сумму вклада);

б) сложные, по которым в качестве базы начисления используется изменяющаяся база (например, первоначальная сумма с учетом капитализации процентов, т.е. увеличенная на сумму процентов, образовавшихся в предыдущие периоды).

2. В зависимости от принципа расчета:

а) ставки наращения — декурсивные — от настоящего к будущему;

б) ставки дисконирования — учетные — антисипативные — от будущего к настоящему.

3. По методу исчисления:

а) проценты «со 100».

Содержание данного метода демонстрирует следующий условный пример. Так, если полная себестоимость продукции промышленного предприятия составила 200 млн р., а рентабельность затрат сложилась на уровне 20%, то сумма прибыли будет определена:

;

б) проценты «на 100».

Применительно к данному методу постановка задачи будет следующая. При уровне рентабельности затрат в 20% и выручке от реализации продукции в сумме составляющей 240 млн р., полученная прибыль будет определена:

;

в) проценты «во 100».

В случае, если организация оказывает услуги по цене ниже себестоимости (например, городской пассажирский транспорт) определяется уровень убыточности услуг, который, к примеру, равен 20%. Выручка от реализации услуг составляет 160 млн р. Исходя из этого величина убытков определится:

 

4. По степени стабильности:

а) фиксированные (четко определены в договоре и не могут быть изменены без согласования сторон);

б) плавающие, при которых указывается не сама ставка, а меняющаяся во времени база и размер надбавки к ней (маржи). В качестве базы может выступать ставка рефинансирования Национального банка Республики Беларусь (т. е. ставка, по которой коммерческие банки берут кредиты у центрального банка), либо лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR: London interbank offered rate), либо др..

Размер процентной ставки зависит от денежно-кредитной политики государства, состояния экономики, вида сделки, валюты и сроков осуществления финансовой операции, особенностей взаимоотношения и репутации контрагентов финансовой сделки.

Изменение одного из ключевых факторов в рамках конкретной операции может привести к непредсказуемому финансовому результату. Поэтому предусмотреть различные ситуации, учесть все ограничения и обстоятельства, произвести сравнительную оценку имеющихся альтернатив и обосновать оптимальный вариант призваны методы количественного анализа являющиеся предметом финансовой математики (финансовых вычислений).

К задачам финансовой математики можно отнести:

- оценку конечного финансового результата конкретной сделки;

- выявление зависимости конечного финансового результата от ключевых факторов сделки;

- разработку и обоснование планов выполнения финансовых операций;

- определение допустимых критических значений ключевых факторов и обоснование эквивалентного (равнозначного с позиции конечного финансового результата) изменения условий финансовой сделки;

- оптимизация размещения финансовых ресурсов на основе установления инвестором (вкладчиком средств) приоритетности критериев между уровнем доходности и степенью риска.

Решение указанных задач при помощи ЭВМ основывается на применении одного из следующих методов:

1. Статистическое моделирование.

2. Линейное и нелинейное программирование.

3. Системный анализ.

4. Экспертные системы (имитирует деятельность человека и принимает решение в узкой сфере).

 

Тема 3. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

 

1. Наращение по сложной процентной ставке.

2. Дисконтирование по сложной процентной ставке.

3. Операции со сложной учетной ставкой.

 

Конверсия платежей

 

Изменение экономических условий функционирования нередко побуждает одну из сторон финансовой сделки обратиться к другой стороне с предложением пересмотра условий ранее заключенных договоров. Операция по замене ключевых позиций, базирующаяся на принципе эквивалентности, называется конверсией.

Наиболее распространенными примерами такой операции является отнесение сроков исполнения долгового обязательства на более поздние периоды, объединение нескольких платежей в один (консолидация платежа) с установлением единого срока погашения.

При консолидации платежей в один платеж на условиях отнесения срока исполнения долгового обязательства уравнение эквивалентности имеет следующий вид:

,                                      (4.14)

где  — платежи, подлежащие консолидации со сроками уплаты  не превышающими сроки уплаты консолидированного платежа;

 — временные интервалы между сроком консолидированного платежа и конкретными сроками  до консолидации.

Объединение платежей может производиться на условиях, предусматривающих различные сроки выплаты консолидированного платежа. Данный платеж может быть определен по формуле:

,                 (4.15)

где S_q — платежи, подлежащие консолидации со сроками уплаты n_q превышающими сроки уплаты консолидированного платежа;

w_q — временные интервалы между сроком консолидированного платежа и конкретными сроками n_q до консолидации.

При консолидации платежей, по отношению к которым применяется учетная ставка, наращенная сумма может быть определена:

.               (4.16)

Оценка эквивалентности финансовой сделки при применении сложной процентной ставки возможна по формуле:

.                      (4.17)

При консолидации платежей возможны ситуации, при которых контрагенты заранее определяют сумму объединенного платежа, что требует расчета сроков его осуществления. Так при применении ставки наращения срок уплаты консолидированного платежа определяется:

,                          (4.18)

где S_{КОНСОЛИД} — сумма консолидированного платежа;

Р_{КОНСОЛИД} — современная величина консолидированного платежа.

А при применении учетной ставки:

.                                     (4.19)

 

Денежные потоки и их виды

 

Финансовые операции зачастую предполагают не отдельные разовые платежи, а определенную их последовательность, например, ежемесячная уплата налогов, погашение кредита равными частями и т. д. В этом случае применяется термин поток платежей (или денежный поток).

Денежный поток — это абстрагированный от его экономического содержания численный ряд, состоящий из последовательности распределённых во времени платежей.

Численное значение денежного потока характеризует величину притока денег, если оно больше нуля, или оттока денег, если оно меньше нуля. Положительный денежный поток формируют денежные средства, оставшиеся у экономического субъекта по итогам за соответствующий период, например, поступления от продажи товаров, выполнения работ, оказания услуг. Отрицательный денежный поток формируют денежные средства, затрачиваемые экономическим субъектом в соответствующий период, например, инвестиции, возврат кредита, затраты на сырьё, энергию, материалы и др.

Потоки платежей классифицируются.

1. По степени стабильности:

а) регулярные (размеры платежей, по которым постоянны или которые осуществляются через равные промежутки времени);

б) нерегулярные.

2. По направлению движения денежных средств:

а) положительные, под которым понимают поступления денежных средств;

б) отрицательные, соответствующие осуществляемым платежам.

3. По виду деятельности:

а) операционные, связанные с осуществлением основного вида деятельности (производство, продажа товаров и т. д.);

б) инвестиционная, связанная с вложением средств во внеоборотные активы;

в) финансовая, связанная с размещением временно свободных денежных средств на счетах в банке, приобретением ценных бумаг и т. д.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами равны между собой, называют рентой (финансовой рентой, аннуитетом). Термин аннуитет правильнее применять исключительно к ежегодным выплатам, поскольку его происхождение обязано латинскому слову аnno — год. Однако на практике данным термином означают любую ренту.

Основными характеристиками ренты являются:

а) член ренты — размер отдельного платежа;

б) период ренты — промежуток времени между двумя последовательными платежами;

в) срок ренты — время от начала первого периода до конца последнего;

г) процентная ставка.

Кроме того, на эффективность финансовой операции существенное влияние оказывают способ и частота начисления процентов.

Обобщающие характеристики ренты используются в финансовом анализе при заключении коммерческих сделок, для планирования погашения задолженности, сравнения эффективности контрактов, имеющих различные условия реализации.

Финансовые ренты классифицируются.

1. По частоте выплат:

а) дискретные, производимые через определенный временной интервал (большинство финансовых рент) и образующие конечную или бесконечную последовательность;

б) непрерывные.

2. По количеству выплат в течение года:

а) годовые;

б) p-срочные, по которым выплаты производятся р раз в году.

3. По размеру платежей:

а) постоянные (с одинаковыми суммами члена ренты);

б) переменные (изменяемые по заранее установленному алгоритму).

4. По вероятности выплат:

а) безусловные (верные, правильные), у которых число членов ренты заранее известно (например, погашение кредита);

б) условные, выплаты при которых зависят от наступления определенных событий (например, уплата налога на прибыль при ее получении).

5. По количеству членов ренты:

а) ограниченные, по которым установлены конечные сроки финансовой сделки;

б) вечные, заключаемые на продолжительный промежуток времени без указания даты окончания сделки (например, правительственные займы, по которым доход, выплачиваемый инвестору, является вечной рентой).

6. По моменту выплаты платежей в течении периода ренты:

а) пренумерандо (авасвовые), по которым выплаты производятся в начале периода ренты (например, авансовые платежи);

б) постнумерандо (обыкновенные), характеризующиеся оплатой в конце периода ренты.

7. По начальному моменту выплат:

а) немедленные, по которым срок ренты начинается сразу после подписания контракта;

б) отсроченная (отложенная), при которой выплаты по ренте начнут осуществляться по истечении оговоренного промежутка времени (например, льготного периода).

Примеры:

1) периодическое равномерное погашение за полугодие кредита с фиксированным временем погашения и полугодовым начислением процентов — это полугодовая, правильная, ограниченная рента;

2) выплаты дивидендов от акций — условная, вечная рента постнумерандо;

3) арендная плата за пользование землей — годовая, постоянная, вечная рента.

 

Конверсия рент

Аналогично разовым платежам конверсия рент подразумевает пересмотр условий ранее заключенных контрактов. При этом в основу осуществления конверсии должен быть положен принцип финансовой эквивалентности, заключающийся в изменении условий сделки без корректировки конечного финансового результата.

Однако, на практике это не всегда выполнимо, т.к. конверсия применяется в основном при реструктуризации долга. Под реструктуризацией долга понимают изменение условий погашения долгового обязательства в связи с резким ухудшением финансового состояния должника. В этом случае кредитор готов пойти на некоторые финансовые потери с целью недопущения более крупных убытков.

Основными видами конверсии, применяемыми в отношении финансовых рент, являются:

1. Выкуп ренты, подразумевающий под собой замену ренты единым платежом. Решение задачи по определению стоимости выкупа в этом случае сводится к расчету современной стоимости конкретного вида выкупаемой финансовой ренты.

2. Рассрочка платежей. Данный вид конверсии является обратной операцией выкупу ренты. При этом ключевыми моментами нового финансового соглашения, требующими применения финансовых расчетов, являются размер члена ренты и срок осуществления каждого промежуточного платежа. Эта задача решается на основании сравнения современной стоимости будущей финансовой ренты с текущим размером долгового обязательства.

3. Объединение (консолидация) рент, заключается в замене нескольких рент одной. Объединению могут подлежать любые ренты: немедленные и отсроченные, годовые и р-срочные и т. д. Определяя недостающий параметр конкретной финансовой ренты, исходят из того, что современные стоимости заменяющей и заменяемых рент должны быть равны, т. е. Р_НОВАЯ=∑Р_j. В качестве неизвестного параметра финансового соглашения обычно выступают член ренты, либо ее срок.

 

Тема 2. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

 

1. Экономическая сущность основных характеристик финансовых сделок

2. Наращение по простым процентным ставкам

3. Дисконтирование по простым процентным ставкам

4. Оценка эффективности валютно-обменных операций с последующим наращением. Производные вычисления

1.Экономическая сущность основных характеристик финансовых сделок

 

В процессе управления финансами возникает потребность в оценке эффективности и рискованности финансовой сделки. При этом ключевыми характеристиками любой финансовой операции выступают:

1) денежные платежи;

2) временные параметры;

3) процентные ставки.

Каждая из указанных характеристик может быть представлена по-разному.

Так, платежи могут быть:

а) единовременными или в рассрочку (т.е. погашаемые по частям);

б) постоянными (равными суммами) или переменными во времени.

Временные параметры могут устанавливаться в виде фиксированных сроков (конкретная дата платежа), интервалов поступления (до 22 числа месяца следующего за отчетным), моментов поступления (в день выплаты заработной платы). Необходимость учета данного фактора вытекает из сущности финансов и выражается в принципе изменения ценности денег во времени.

Под процентной ставкой понимают относительную величину, выступающую измерителем финансовой операции. В кредитных операциях, например, она определяется как отношения дохода, полученного от предоставления денег во временное пользование, к первоначальной сумме долга.

Процентные ставки классифицируются:

1. В зависимости от базы начисления:

а) простые, по которым начисление процентов производится исключительно на постоянную сумму финансовой операции (например, на первоначальную сумму вклада);

б) сложные, по которым в качестве базы начисления используется изменяющаяся база (например, первоначальная сумма с учетом капитализации процентов, т.е. увеличенная на сумму процентов, образовавшихся в предыдущие периоды).

2. В зависимости от принципа расчета:

а) ставки наращения — декурсивные — от настоящего к будущему;

б) ставки дисконирования — учетные — антисипативные — от будущего к настоящему.

3. По методу исчисления:

а) проценты «со 100».

Содержание данного метода демонстрирует следующий условный пример. Так, если полная себестоимость продукции промышленного предприятия составила 200 млн р., а рентабельность затрат сложилась на уровне 20%, то сумма прибыли будет определена:

;

б) проценты «на 100».

Применительно к данному методу постановка задачи будет следующая. При уровне рентабельности затрат в 20% и выручке от реализации продукции в сумме составляющей 240 млн р., полученная прибыль будет определена:

;

в) проценты «во 100».

В случае, если организация оказывает услуги по цене ниже себестоимости (например, городской пассажирский транспорт) определяется уровень убыточности услуг, который, к примеру, равен 20%. Выручка от реализации услуг составляет 160 млн р. Исходя из этого величина убытков определится:

 

4. По степени стабильности:

а) фиксированные (четко определены в договоре и не могут быть изменены без согласования сторон);

б) плавающие, при которых указывается не сама ставка, а меняющаяся во времени база и размер надбавки к ней (маржи). В качестве базы может выступать ставка рефинансирования Национального банка Республики Беларусь (т. е. ставка, по которой коммерческие банки берут кредиты у центрального банка), либо лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR: London interbank offered rate), либо др..

Размер процентной ставки зависит от денежно-кредитной политики государства, состояния экономики, вида сделки, валюты и сроков осуществления финансовой операции, особенностей взаимоотношения и репутации контрагентов финансовой сделки.

Изменение одного из ключевых факторов в рамках конкретной операции может привести к непредсказуемому финансовому результату. Поэтому предусмотреть различные ситуации, учесть все ограничения и обстоятельства, произвести сравнительную оценку имеющихся альтернатив и обосновать оптимальный вариант призваны методы количественного анализа являющиеся предметом финансовой математики (финансовых вычислений).

К задачам финансовой математики можно отнести:

- оценку конечного финансового результата конкретной сделки;

- выявление зависимости конечного финансового результата от ключевых факторов сделки;

- разработку и обоснование планов выполнения финансовых операций;

- определение допустимых критических значений ключевых факторов и обоснование эквивалентного (равнозначного с позиции конечного финансового результата) изменения условий финансовой сделки;

- оптимизация размещения финансовых ресурсов на основе установления инвестором (вкладчиком средств) приоритетности критериев между уровнем доходности и степенью риска.

Решение указанных задач при помощи ЭВМ основывается на применении одного из следующих методов:

1. Статистическое моделирование.

2. Линейное и нелинейное программирование.

3. Системный анализ.

4. Экспертные системы (имитирует деятельность человека и принимает решение в узкой сфере).

 

Наращение по простым процентным ставкам

Финансовые расчеты с использованием простых процентов используются в практике, как правило, при определении эффективности краткосрочных финансовых операций (заключенных на срок не более 1 года), либо в случаях, когда проценты не присоединяются к первоначальной сумме, а периодически используются выгодаприобретателями. При этом оперируют специальными категориями и в математике вводятся следующие обозначения:

а) первоначальная величина (Р) — стоимость финансовых ресурсов изначально задействованных в конкретной финансовой операции;

б) наращенная сумма сделки (S) — первоначальная величина финансовой сделки с начисленными на нее процентами к концу срока финансового соглашения;

в) множитель наращения — показатель, отражающий во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.

Расчет процентов (I) зависит от вида применяемой процентной ставки и условий наращения. Для годовой ставки простых процентов (i) наращенная сумма S за n лет определяется по формуле 2.1:

,                                                         (2.1)

а годовая ставка простых процентов по формуле 2.2:

.                                                 (2.2)

Из вышеприведенных формул следует, что процентный доход, полученный за n лет, будет в n раз больше, чем за год.

Если срок финансового соглашения измеряется не в годах, а в днях, что характерно для краткосрочных сделок, то в качестве n следует взять

,                                                                        (2.3)

где t — срок финансовой сделки, выраженный в днях,

К — временная база, т.е. число дней в году.

Если временная база К=360 дней (12 месяцев по 30 дней), то утверждают, что в сделке используются коммерческие (либо обыкновенные) проценты, а при использовании действительного количества дней в году, оперируют понятием «точные проценты».

Подсчет числа дней t финансовой сделки также может быть двояким. При точном вычислении берут фактическое число дней пользования кредитом, при этом день выдачи и погашения считают за один день. При приближенном подсчете принимают количество дней в месяце за 30, в квартале за 90, а полугодии за 180.

Это приводит к тому, что на практике имеют место три варианта использования простых процентов, что оговаривается в договоре:

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (банковский метод). Применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками (например, в США, Великобритании). В коммерческих документах обозначается как 365/365 или АСТ/АСТ.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, а также в экономике Франции, Швейцарии, Бельгии (обозначается как 365/360 или АСТ/360).

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Принят в практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании (360/360).

В таких ситуациях процентная ставка по сделкам со сроком исполнения до одного года определяется:

.                                                             (2.4)

Применение в сделках плавающих ставок требует корректировки расчета наращенной суммы финансовой операции следующим образом:

, (2.5)

В финансовой практике возможны варианты погашения краткосрочных обязательств частями. При этом база для начисления процентов определяется по одному из двух возможных методов:

1. Актуарный метод применяется в операциях со сроком более одного года и предполагает последовательное начисление процентов на непогашенный остаток основной задолженности (т.е. без учета задолженности по начисленным процентам). Однако следует иметь в виду, что промежуточные платежи засчитываются в счет погашения основной долга лишь при их превышении над текущей задолженностью по процентам. Если частичный платеж меньше начисленных процентов, то зачет к сумме долга не предусмотрен.

Окончательный погасительный платеж определяется по формуле наращения по простым процентам, с учетом того, что совокупная задолженность на конец срока должна быть полностью погашена.

Для улучшения восприятия сути данного метода приведен следующий условный пример.

Организация взяла в банке кредит на 180 дней на сумму 300 млн р. под 20% годовых. По истечении 30 дней в счет погашения долга произведен платеж в размере 11 млн р., а через 90 дней — на сумму 7 млн р. Необходимо определить величину окончательного платежа, если временная база по договору определена как 360 дней.

При такой постановке задачи, сумма начисленных процентов на дату внесения первого платежа составит:

Поскольку первый промежуточный платеж (10 млн р.) больше суммы начисленных процентов, то в счет погашения основного долга будет зачислено 6 млн р. (11-5), и остаток задолженности для последующих начислений составит 294 млн р. (300-6).

В свою очередь проценты, начисленные на дату внесения второго погасительного платежа, будут определены следующим образом:

Срок в 60 дней определен как разница между датой внесения первого и второго погасительного промежуточного платежа. В связи с тем, что размера промежуточного платежа (7 млн р.) оказался меньше суммы начисленных процентов (9,8 млн р.), то он не может быть засчитан в счет погашения основного долга. Поэтому за период, начиная с даты первого промежуточного платежа до конца срока финансового соглашения, определяют наращенную сумму, которую затем корректируют на величину второго промежуточного платежа. То есть, наращенная сумма на дату возврата кредита составит:

Учитывая, что за рассматриваемый период был проведен промежуточный платеж, то остаток задолженности, т.е. окончательный погасительный платеж, составит:

318,5-7=311,5 млн р.

2. Правило торговца применяется в операциях со сроком менее одного года и предполагает накопление частичных платежей у кредитора (лица дающего в долг) без уменьшения базы начисления процентов. При этом на величину накопленной суммы кредитор производит начисление процентов, как по депозиту. Взаимозачет производится в конце срока сделки.

Для демонстрации методики вычисления взят тот же цифровой пример, что и при актуарном методе.

Поскольку кредит взят на 180 дней, то наращенная сумма по завершении сделки должна составить:

Поскольку при данном методе промежуточные погасительные платежи рассматриваются как отдельные депозитные операции, то необходимо определить срок их хранения на сберегательных счетах. Так как первый платеж внесен через 30 дней после даты выдачи кредита, то он будет храниться у кредитора 150 дней (180-30). В свою очередь второй платеж — 90 дней (180-90). Исходя из этого, наращенная сумма двух депозитов составит:

Сравнение наращенной суммы по кредиту с наращенными величинами депозитов позволит определить размер окончательного платежа:

Окончательный платеж выступает балансировочным показателем между кредитной и депозитной сделками, реализуемыми в рамках одной финансовой операции.

 

12345678Следующая ⇒

Поделиться: