Дифференциальные уравнения первого порядка .

Системы дифференциальных уравнений первого порядка .

 

11.1. Краткие теоретические сведения

 

Дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение, которое не содержит производных выше первого порядка от неизвестной функции. Для решения дифференциальных уравнений воспользуемся функцией rkfixed.

 

Функция rkfixed ( y , x 1, x 2, npoints , D )– возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе y , правые части которых записаны в символьном векторе D , на интервале от x 1 до x 2 при фиксированном числе шагов npoints . (с постоянным шагом).

 

y = вектор начальных условий размерности n, где n – порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе (если решается система уравнений). Для дифференциального уравнения первого порядка, как, например, для нашей задачи, вектор начальных значений вырождается в одну точку .

 

x 1, x 2= граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных уравнений. Начальные условия, заданные в векторе y, – это значение решения в точке x 1.

 

  npoints= число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк (1+ npoints) в матрице, возвращаемой функцией rkfixed .

D ( x , y )= функция, возвращающая значение в виде вектора из n элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.

Функция rkfixed использует для поиска решения метод Рунге-Кутты четвертого порядка. В результате решения получается матрица, имеющая два столбца:

§ первый столбец содержит точки, в которых ищется решение дифференциального уравнения

§ второй столбец содержит значения найденного решения в соответствующих точках

11.2. Задачи для выполнения лабораторных работ

Задача 1 .

Решить численно дифференциальное уравнение:

на отрезке [0, p ] с начальными условиями:  

и построить график найденного решения.

Пояснение

Переменной ORIGIN присваиваем значение, равное 1, чтобы нумерация компонент вектора начиналась с 1.

Перед обращением к функции rkfixed присвойте переменной  начальное значение, равное 1, а переменной  – выражение для правой части уравнения, равное . Результаты вычислений функции rkfixed(y, x 1, x 2, N , D ) присвоены матрице Z. Матрица Z содержит в 1-ом столбце 20 точек (узлов) в интервале [ 0, p ], а во 2-ом – приближенные значения решения в этих точках (узлах).

Задача 2.

Решить численно дифференциальное уравнение:

на отрезке [0, 3] с начальными условиями: , шаг  и построить график найденного решения.

Переменной N (число шагов) присваиваем значение, равное

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: