Понятие соответствия между множествами.

Способы задания соответствий

 

Пусть заданы два множества X и Y. Если для каждого элемента х Î Х указан элемент y Î Y, с которым сопоставляется х, то говорят, что между множествами X и Y установлено соответствие.

Иначе говоря, соответствием между элементами множеств X и Y называется любое подмножество G декартова произведения X ´ Y этих множеств. Если (х, у) Î G, то множество первых компонентов (Пр₁G) называется областью определения соответствия G, множество вторых компонентов (Пр₂G) –– областью значений этого соответствия.

Множество всех y Î Y, которые сопоставляются элементу х Î Х, называется образом х в Y. Множество же всех х Î Х, которым сопоставляют элемент y Î Y, называется прообразом y в Х.

Поскольку соответствие — это множество, то его можно задать теми же способами, что и любое множество: перечислением всех пар (х, у), где элементы х Î Х и y Î Y связаны данным соответствием; указанием характеристического свойства всех пар (х, у) элементов х Î Х, y Î Y, находящихся в рассматриваемом соответствии.

Когда множества X и Y  конечные, то соответствие между элементами можно задать таблицей, где в левом столбце записывают элементы множества Х, а в верхней строке — элементы множества Y. Пары элементов, находящихся в соответствии G, будут находиться на пересечении соответствующих столбцов и строк.

Соответствие между двумя конечными множествами можно показать и при помощи графа. Множества X и Y показывают оваломи, элементы множеств
X и Y обозначают точками, а стрелками соединяют соответствующие элементы так, что если имеет место (х, у) Î G, то стрелку проводят из точки х в точку у.

Например, граф, изображенный на рисунке 16, задает соответствие «Писатель х написал произведение у». Здесь Х = {Я. Колос, В. Быков,
И. Науменко}, а Y = {«Знак беды», «Сосна при дороге», «На росстанях»,
«Новая земля», «В тумане»}.

 

 

Рис. 16

Когда множества Х и Y числовые, то можно построить график соответствия G на координатной плоскости.

Построим, например, график соответствия «меньше» между элементами множеств Х = {1, 3, 4, 6} и Y = {2, 5, 7}. Выпишем пары элементов, находящихся в данном соответствии: (1, 2), (1, 5), (1, 7), (3, 5), (3, 7), (4, 5),
(4, 7), (6, 7). Если изобразить элементы множества Х на оси Ох, а элементы множества Y на оси Оу, а выписанные пары отметить точками на координатной плоскости, то получим график рассматриваемого соответствия между элементами множеств X и Y
(рис. 17).

 

 

Рис. 17

Упражнения

 

1. Даны множества Х = {3, 5, 7} и Y = {6, 8, 10, 12}. Между ними установлено соответствие «Число х меньше числа у», х Î Х, y Î Y. Постройте граф и график этого соответствия.

2. Вычислите периметры фигур, данных на рисунке 18. Соответствие между какими множествами установлено? Обозначая каждую фигуру точками , , ,  постройте граф этого соответствия.

 

Рис. 18

3. На рисунке 19 дан граф соответствия Р. Запишите все пары чисел, которые находятся в этом соответствии. Постройте график соответствия Р. Установите между данными множествами X и Y два других соответствия.

 

Рис. 19

 

4. Элементы множества С = {7, 20, 16, 35} и множества
D = {16, 21, 28, 35} находятся в соответствии : «Число с меньше или равно числу », с Î С, D Î d. Найдите:

    а) с каким числами находится число 16 в соответствии ;

    б) какие числа находятся в соответствии  с числом 28;

    в) график соответствия ;

    г)  граф соответствия .

5. Соответствие S между множествами Х = {1, 3, 4, 6} и Y = {2, 4, 6, 8} задано     перечислением пар (1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (3, 6), (4, 8),
(4, 4), (6, 6)    элементов, находящихся в соответствии S.

    а) Назовите характеристическое свойство данного соответствия.

    б) Постройте граф соответствия S.

    в) На координатной плоскости постройте график соответствия.

6. Графиком соответствия , заданного между множествами Х и Y, является квадрат ABCD (рис. 20). Назовите координаты пяти точек, принадлежащих     этому графику. Укажите характеристическое свойство чисел, которые принадлежат множествам Х и Y.

Рис. 20

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: