Двух числовых множеств на координатной плоскости

 

Выберем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу с указанными на них положительными направлениями. Прямые Ох и Оу называются координатными осями, точка их пересечения О — началом координат. Обычно полагают, что ось Ох горизонтальна, а ось Оу вертикальна относительно наблюдателя; положительное направление на оси Ох слева направо, на оси Оу — снизу вверх (рис. 10).

 

 

Рис. 10

 

Возьмем теперь некоторую единицу масштаба, с помощью которой будут производиться все измерения на плоскости хОу.

Совокупность координатных осей Ох, Оу и выбранной единицы масштаба называется декартовой прямоугольной системой координат на плоскости.

Произвольной точке М плоскости поставим в соответствие два числа
(рис. 10):

а) абсциссу х, равную расстоянию точки М от оси Оу, взятому со знаком «+», если М лежит правее Оу, и со знаком «–», если М лежит левее Оу;

б) ординату у, равную расстоянию точки М от оси Ох, взятому со знаком     «+», если М лежит выше Ох, и со знаком «–», если М лежит ниже Ох.

Абсцисса х и ордината у называются декартовыми прямоугольными координатами точки М. Обозначение М(х,у) означает: точка с абсциссой, равной х, и ординатой, равной у.

Отметим, что каждой точке плоскости соответствует одна пара действительных чисел х и у (ее координат). Верно и обратное: каждой паре действительных чисел х и у соответствует одна точка плоскости. Это значит, что на плоскости положение произвольной точки М полностью определяется её координатами х и у.

Выясним как можно использовать прямоугольную систему координат для наглядного представления декартового произведения двух числовых множеств.

Пусть Х и Y — числовые множества. На оси абсцисс откладываем элементы множества Х, а через каждый из них проводим вертикальную линию. На оси ординат откладываем элементы множества Y, через каждый из них проводим горизонтальную линию. Точки пересечения проведенных таких образом горизонтальных и вертикальных линий, очевидно, изображают элементы декартового произведения X ´ Y.

Покажем на координатной плоскости, как изображается декартовое произведение множеств А и В, если

а) А = {2, 5, 6},  В = {3, 4}; 

б) А = {1, 3, 5},  В = [1, 5];

в) А = [1, 3],       В = [2, 5];

г)  А = R,             В = [1, 2].

В случае а) полученная фигура из шести точек (рис. 11) и будет наглядно изображать декартово произведение множеств А и В; в случае б) декартово произведение множеств А и В на координатной плоскости изображается в виде отрезков FK, LP, SD (рис. 12); точки, передающие элементы декартового произведения множеств А и В в случае в) образуют прямоугольник FKLE
(рис. 13), в случае г) декартово произведение множеств А и В изображается в виде полосы (рис. 14).

 

 

 

Рис. 11

Рис. 12

 

 

Рис. 13

 

 

Рис. 14

 

Упражнения

 

1. Изобразите на координатной плоскости декартово произведение  множеств А и В, если:

а) А = {1, 2, 5},           В = {–1, 2};  

б) , ;

в) А = {–1, –2, –3, 0, 5}; ;

г)  ,   ;

д) , ;

е)  , .

ж) ,                     В = {2}.

2. Все элементы декартового произведения множеств Х и Y изображены на координатной плоскости.

Запишите множества Х и Y (рис. 15).

 

 

Рис. 15

3. На координатной плоскости постройте прямоугольник с вершинами
A (–1; –2), B (–1; 1), C (3; 1), D (3; –2). Множество точек этого прямоугольника запишите в виде декартового произведения двух множеств.

4. Докажите, что при любых X, Y, Z

X Ì Y Þ X ´ Z Ì Y ´ Z .

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: