Точные и приближенные числа. Источники погрешностей

Алгебраические и трансцендентные уравнения. Общие методы решение нелинейных уравнений.

Общий вид нелинейного уравнения f(x)=0, где функция f(x) – определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале.

По виду функции f(x) нелинейные уравнения можно разделить на два класса:

- алгебраические;

- трансцендентные.

Алгебраическими называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией.

Трансцендентными называются уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.)

Решить нелинейное уравнение – значит найти его корни или корень. Всякое значение аргумента х, обращающее функцию f(x) в нуль называется корнем уравнения или нулем функции f(x).

Методы решения нелинейных уравнений делятся на:

- прямые;

- итерационные.

Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения квадратного уравнения, биквадратного уравнения (так называемых простейших алгебраических уравнений), а также тригонометрических, логарифмических, показательных уравнений.

Однако, встречающиеся на практике уравнения, не удается решить такими простыми методами, потому что

- вид функции f(x) может быть достаточно сложным;

- коэффициенты функции f(x) в некоторых случаях известны лишь приблизительно, поэтому задача о точном определении корней теряет смысл.

В этих случаях для решения нелинейных уравнений используются итерационные методы, то есть методы последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня уравнения, следует отметить изолированного, то есть такого, для которого существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения, состоит из двух этапов:

ü отделение корня, а именно, определение приближенного значения корня или отрезка, который содержит один и только один корень.

ü уточнение приближенного значения корня, то есть доведение его значения до заданной степени точности.

 

Решение систем линейных уравнений методом Зейделя

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа для решения нелинейных уравнений

Оценка погрешности первой интерполяционной формулы Ньютона

 

Обратная интерполяция

(см. лекцию и формулы брать из нее)

Метод сплайн аппроксимации

24. Линейное и квадратичное интерполирование по МНК

25. Численное интегрирование. Простейшие квадратурные формулы

 Простейшие квадратурные формулы:

 - формула левых прямоугольников

 -формула правых прямоугольников

 - формула средних прямоугольников

 – формула трапеций

 –формула Симпсона

Точные и приближенные числа. Источники погрешностей

Точные числа выражают безошибочное значение каких-либо величин и обычно имеют математическое происхождение. Примерами таких чисел являются:

ü количественные натуральные числа (2; 5; 18; 129 и т. д.), полученные как результат счета предметов или их места в ряду (например, число углов в полигоне; количество повторных измерений и т. п.);

ü отвлеченные числа, отражающие эталонную совокупность условных единиц, принятых как аксиома (например, 1 м = 100 см; 1 га = = 10 000 м2; Г=60' и т. п.);

ü заранее установленные значения численных масштабов планов и карт (1 :5000; 1 :25 000) или высоты сечения рельефа (2 м; 5 м) и т. п.;

ü некоторые постоянные коэффициенты в теоретических формулах (например, площадь треугольника равна 0,5-аН, где 0,5 — точное число);

ü численные значения, отражающие теоретические закономерности; например, сумма углов плоского многоугольника равна 180° (я—2); число диагоналей в четырехугольнике — 2, пятиугольнике — 5, шестиугольнике — 9.

Приближенные числа выражают значение какой-либо величины, полученное с погрешностями, возникающими в результате измерений, вычислений или округлений. Чаще всего приближенное число выражает отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу. Примерами приближенных чисел являются:

ü округленные значения некоторых иррациональных математических величин;

ü коэффициенты формул, полученные опытным путем (эмпирические), или коэффициенты, значения которых округлены для практического удобства использования формул (например, коэффициенты нитяных дальномеров современных зрительных труб принимают равными 100, в то время как их действительное значение может несколько отклоняться от этой величины);

ü результаты измерений различных физических величин с помощью соответствующих технических средств.

ü Так как в геодезии непосредственно или косвенно измеряют физические величины (углы, длины линий, площади фигур и др.), а процесс измерений по своей природе случаен и сопровождается погрешностями, то результаты геодезических измерений всегда являются приближенными числами.

Погрешность решения задачи обусловливается следующими причинами:

ü Математическое описание и исходные данные являются неточными.

ü Применяемые методы являются чаще всего приближенными, мало того, решение не может быть получено за конечное число арифметических операций.

ü В процессе вычисления проводятся округления. В соответствии с этим погрешности называют: неустранимыми, погрешностями метода, вычислительными погрешностями.

 

2. Классификация погрешностей. Абсолютная и относительная погрешность.

1) По способу выражения:

ü Абсолютной погрешностью D(а) приближенного числа а называют абсолютную величину погрешности:

, позволяющую отвлечься от знака погрешности. Где А-точное число.

ü Относительной погрешностью δ(а) приближенного числа а называется отношение в долях единицы:

ü Приведенная – это относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условию, принятому значению величины постоянному во всем диапазоне измерений (или части диапазона).

2) По причинам и условиям возникновения:

ü Основная - это погрешность средств измерения, которое находятся в нормальных условиях эксплуатации, возникает из-за неидеальности функции преобразования и вообще неидеальности свойств средств измерений.

ü Дополнительная – это составляющая погрешности средств измерений, возникающая дополнительно к основной, вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин от нормы её значения или вследствие её выхода за пределы нормированной области значений. Обычно нормируется наибольшее значение дополнительной погрешности.

3) По характеру изменений:

ü систематические – составляющая погрешности, остающаяся постоянной или изменяющаяся по известной закономерности во все время проведения измерений. Может быть исключена из результатов измерения путем регулировки или введением поправок.

ü случайные – это составляющие погрешности, изменяющиеся случайным образом, причины нельзя точно указать, а значит, и устранить нельзя. Приводят к неоднозначности показаний. Уменьшение возможно при многократных измерениях и последующей статистической обработке результатов. Т.е. усредненный результат многократных измерений ближе к действительному значению, чем результат одного измерения. Качество, которое характеризуется близостью к нулю случайной составляющей погрешности называется сходимостью показаний этого прибора.

ü промахи – грубые погрешности, связанные с ошибками оператора или неучтенными внешними воздействиями. Их обычно исключают из результатов измерений, не учитывают при обработке результатов.

4) По зависимости от измеряемой величины:

ü Аддитивные погрешности (не зависит от измеряемой величины)

ü Мультипликативные погрешности (пропорционально значению измеряемой величины).

5) В зависимости от влияния характера изменения измеряемой величины:

ü Статическая – погрешность СИ при измерении неизменной или медленно изменяющейся величины.

ü Динамическая – погрешность СИ, возникающая при измерении быстро меняющейся во времени ФВ. Динамическая погрешность является следствием инерционности прибора.

 

123456Следующая ⇒

Поделиться: