Математическая постановка задачи интерполирования

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций, оказывается, эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа для решения нелинейных уравнений

Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа

Значение интерполяционного полинома совпадает со значением заданной функции  только в узлах интерполяции. В остальных точках интерполяционный полином отличается от  на величину  называемую остаточным членом

где  полином степени n+1

(+ см. предыдущий вопрос)

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона. Разделенные разности.

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона – это математическая функция, позволяющая записать полином n-степени, который будет соединять все заданные точки из набора значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки с постоянным/переменным временным шагом измерений.

В общем виде интерполяционный многочлен в форме Ньютона записывается в следующем виде:

где n – вещественное число, которое указывает степень полинома;

 – переменная, которая представляет собой разделенную разность k-го порядка, которая вычисляется по следующей формуле:

Разделённая разность является симметричной функцией своих аргументов, то есть при любой их перестановке её значение не меняется. Следует отметить, что для разделённой разности k-го порядка справедлива следующая формула:

Преимущества:

ü Эффективен для не высоких степеней

ü Используется для любых таблиц

ü Легко прибавить или убрать значение в таблице

ü Чёткий алгоритм

Недостатки:

ü Для каждой точки свой полином

ü В окрестности последних точек неустойчив

ü Не больше 5 степени.

 

Оценка погрешности первой интерполяционной формулы Ньютона

 

Обратная интерполяция

(см. лекцию и формулы брать из нее)

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: