Метод сплайн аппроксимации

24. Линейное и квадратичное интерполирование по МНК

25. Численное интегрирование. Простейшие квадратурные формулы

 Простейшие квадратурные формулы:

 - формула левых прямоугольников

 -формула правых прямоугольников

 - формула средних прямоугольников

 – формула трапеций

 –формула Симпсона

Квадратурная формула левых и правых прямоугольников для вычисления интеграла

 

 - формула левых прямоугольников

 - формула правых прямоугольников

 

 - формула средних прямоугольников

 

 

Квадратурные формулы трапеций для вычисления интеграла

Квадратурные формулы Симпсона для вычисления интеграла

Метод статических испытаний Монте-Карло для вычисления интегралов одной или нескольких переменных

Методы Монте–Карло (ММК) – это численные методы решения математических задач с помощью моделирования случайных величин. ММК позволяют успешно решать математические задачи, обусловленные вероятностными процессами. Более того, при решении задач, не связанных с какими-либо вероятностями, можно искусственно придумать вероятностную модель (и даже не одну), позволяющую решать эти задачи. Рассмотрим вычисление определенного интеграла:

При вычислении этого интеграла по формуле прямоугольников интервал [A, B] разбиваем на N одинаковых интервалов, в серединах которых вычислялись значения подынтегральной функции. Вычисляя значения функции в случайных узлах, можно получить более точный результат:

На рис. 2.5 представлена графическая реализация метода Монте-Карло вычисления однократного интеграла со случайными узлами (2.21) и (2.22).

Рис. 2.5. Интегрирование методом Монте-Карло (1-й случай)

Однако при вычислении кратных интегралов детерминированными методами оценка погрешности перерастает в задачу порой более сложную, чем вычисление интеграла. В то же время погрешность вычисления кратных интегралов ММК слабо зависит от кратности и легко вычисляется в каждом конкретном случае практически без дополнительных затрат.

Рассмотрим еще один метод Монте-Карло на примере вычисления однократного интеграла:

Рис. 2.6. Интегрирование методом Монте-Карло (2-й случай)

Как видно на рис. 2.6, интегральная кривая лежит в единичном квадрате, и если мы сумеем получать пары случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0, 1], то полученные значения (γ1, γ2) можно интерпретировать как координаты точки в единичном квадрате. Тогда, если этих пар чисел получено достаточно много, можно приблизительно считать, что

 

Численное дифференцирование. Формулы приближённого дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: