Графические методы решения нелинейных уравнений

Метод половинного деления (дихотомии)

Достоинства:

ü Прост в алгоритмизации и программировании

ü На функцию f(x) не накладывается никаких ограничений, кроме требования непрерывности.

Недостаток:

ü Метод очень медленно сходится, т.е. необходимо использовать большое число итераций для достижения заданной точности.

Метод хорд (секущих)

Достоинства:

ü Прост в алгоритмизации и программировании

ü На функцию f(x) не накладывается никаких ограничений, кроме требования непрерывности.

Недостаток:

ü Метод очень медленно сходится, т.е. необходимо использовать большое число итераций для достижения заданной точности.

ü Односторонняя сходимость.

Метод касательных (Ньютона)

Достоинства:

ü Прост в алгоритмизации и программировании

ü Высокая скорость сходимости метода.

ü Одношаговый метод.

Недостаток:

ü Односторонняя сходимость.

ü Только для дифф. функций.

ü Не работает с кратными корнями.

Метод итераций

Недостаток:

ü Трудно подбирать g(x).

ü Выбор новой функции g(x) связан с областью допустимых значений

ü Метод первого порядка

ü Не все корни можно найти через один g(x).

 

5. Отделение корней. Графический метод отделения корней

Для отделения корней уравнения необходимо иметь критерий, позволяющий убедится, что, во-первых, на рассматриваемом отрезке [a;б] имеется корень, а, во-вторых, что этот корень единственный на указанном отрезке.

Отделение корней можно выполнить графически, если удается построить график функции y=f(x). В ряде случае бывает удобно заменить уравнение f(x)=0 эквивалентным уравнением вида f1(x)=f2(x). Корни этого уравнения определяются абсциссами точек пересечения графиков функций y=f1(x) и y=f2(x).

 

6. Отделение корней. Аналитический метод отделения корней.

Отделение корней – это определение их наличия, количества и нахождение для каждого их них достаточно малого отрезка [a, b], которому он принадлежит.

1. Для отделения корней полезно помнить следующие известные теоремы:

ü если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], т.е. f(a)f(b)<0, то внутри этого отрезка содержится, по крайне мере, один корень уравнения f(x)=0;

ü если непрерывная и монотонная функция f(x) на отрезке [a,b] принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри данного отрезка содержится единственный корень;

ü если функция f(x) непрерывна на отрезка [a,b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная ее сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри отрезка существует корень уравнения (1) и притом единственный.

2. Если исходное уравнение имеет близкие корни или функция f(x) сложная, то для отделения отрезков изоляции можно воспользоваться методом деления отрезка на части (шаговым методом).

Сначала определяют знаки функции в граничных точках области. Затем отрезок разбивается с помощью промежуточных точек x=a1,a2,…. Если окажется, что в двух соседних точках ak и ak+1 функция f(x) имеет разные знаки, то в силу приведенной теоремы, можно утверждать, то на этом отрезке имеется по крайне мере один корень.

Теперь необходимо убедиться, что на выбранном отрезке находится единственный корень. Для этого можно проверить меняет ли знак производная функции f(x) на этом интервале.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: