Нахождение корней уравнений методом простой итерации.

 

8. Геометрическая интерпретация метода итераций

Рассмотрим график функции . Это означает, что решение уравнения  и  - это точка пересечения  с прямой .

Пусть известно начальное приближение к корню . Подставив его в правую часть уравнения , получим новое приближение , затем аналогичным образом получим  и т. д.

Из графиков видно, что как при одностороннем, так и при двухстороннем процессе сходимость к корню определяется наклоном кривой  вблизи корня. Чем меньше наклон, тем лучше сходимость. Как известно, тангенс угла наклона кривой равен производной кривой в данной точке.

Для того чтобы итерационный процесс был сходящимся, необходимо в окрестности корня выполнение следующего неравенства:          

 

9. Приближенное решение систем уравнений. Метод Ньютона для решения системы 2-х уравнений

Метод Ньютона (линеаризации)

 

10. Общие свойства алгебраических уравнений. Определение числа действительных корней

В общем виде алгебраическое уравнение может быть записано в виде:

Pn(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anx^n .

где Pn(x) - многочлен n-ой степени, n - наивысшая степень при неизвестном, a0, a1, … , an - действительные коэффициенты.

Всякое число x, обращающее многочлен в ноль, т.е. Pn(x) = 0 называется корнем многочлена. Согласно основной теореме алгебры, многочлен Pn(x) степени n с любыми числовыми коэффициентами, имеет n корней, если каждый из корней считать столько раз, какова его кратность.

Прежде чем вычислять корни алгебраического уравнения, сначала необходимо:

ü определить число корней, которое имеет данное уравнение;

ü найти область существования корней (установить верхнюю и нижнюю границу расположения корней).

Если уравнение является алгебраическим уравнением целой степени (т.е. f(x) – многочлен n-ой степени)

 

То при отделении корней уравнения полезно использовать теоремы общей алгебры:

- основная теорема алгебры;

- теорема Декарта;

- теорема Гюа.

1.Основная теорема алгебры. Число корней уравнения (действительных, кратных, комплексных) в точности равно n – степени уравнения, причем если коэффициенты a0,a1,…,an все действительные, то возможные комплексные корни попарно сопряжены.

2. Теорема Декарта. Число положительных действительных корней уравнения равно числу перемен знаков последовательности коэффициентов a0,a1,…,an (не считая нулевых коэффициентов) или меньше этого числа на четное число.

Следствие. Число действительных отрицательных корней уравнения равно числу постоянства знаков в последовательности коэффициентов a0,a1,…,an , не считая нулевых, или меньше этого числа на четное число.

3. Теорема Гюа. Если все корни уравнения действительны, то в последовательности коэффициентов a0,a1,…,an квадраты не крайних коэффициентов больше произведения соседних, т.е.

 , k=1,2,…,n-1

4.Теорема Лагранжа. Для алгебраического многочлена n-ой степени (полинома) с действительными коэффициентами вида: Pn(x) = an x^n + an-1x^n-1 +...+a1x+ a0 = 0, (an >0) (3.2)

верхняя граница положительных действительных корней определяется по формуле Лагранжа (Маклорена):

A- наибольший отрицательный коэффициент

m- индекс первого отрицательного коэффициента

11. Метод последовательного исключения переменных для приближенного решения систем линейных уравнений

 

12. Решение систем линейных уравнений методом последовательных приближений (итераций). Оценка погрешностей

Метод простых итераций

                     

13. Условия сходимости и оценка погрешности итерационного процесса для СЛАУ

 

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: