Графическое дифференцирование функции

33. Понятие о дифференциальном уравнении первого и второго порядка

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным (сокращенно ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение). Если же неизвестная функция есть функция многих переменных, то дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных.

Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения - это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0 (в некоторых случаях функцию y можно выразить через аргумент x явно), которая обращает дифференциальное уравнение в тождество.

Решение дифференциального уравнения всегда ищется на заранее заданном интервале X. Решение дифференциального уравнения часто называют интегралом дифференциального уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения. Общее решение дифференциального уравнения еще называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Если решение дифференциального уравнения удовлетворяет изначально заданным дополнительным условиям, то его называют частным решением дифференциального уравнения.

Основными задачами теории дифференциальных уравнений являются задачи Коши, краевые задачи и задачи нахождения общего решения дифференциального уравнения на каком-либо заданном интервале X.

Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям

Краевая задача – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющего дополнительным условиям в граничных точках x0 и x1 :

f (x0) = f0 , f (x1) = f1 , где f0 и f1 - заданные числа.

Краевую задачу часто называют граничной задачей.

Это уравнение - дифференциальная форма уравнения первого порядка.

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка

Как уже говорилось выше, линия S, которая задается функцией, являющейся каким-либо решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой уравнения

Производная  является угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой.

В любой точке  интегральной кривой этот угловой коэффициент касательной может быть найден еще до решения дифференциального уравнения.

Т.к. касательная указывает направление интегральной кривой еще до ее непосредственного построения, то при условии непрерывности функции  и непрерывного перемещения точки A можно наглядно изобразить поле направлений кривых, которые получаются в результате интегрирования дифференциального уравнения, т.е. представляют собой его общее решение.

Если, кроме того, в уравнение входит производная второго порядка от искомой функции, то уравнение называется дифференциальным уравнением второго порядка:

Аналогично определяются дифференциальные уравнения третьего, четвертого и т. д. порядков.

 

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: