Определяем полное удлинение стержня

Подставив числовые, значения, получим

 

 

 

Рисунок 50

К задаче 2

Цель задачи - проверка степени усвоения понятия геометриче­ских характеристик поперечного сечения при изгибе и кручении. Пе­ред решением задачи следует повторить из теоретической механики учебный материал, касающийся определения центра тяжести сече­ний, составленных из простейших геометрических фигур и сечений из прокатных профилей, определение статического момента площа­ди сечения относительно произвольных осей координат.

Обращается внимание студента на различие геометрических характеристик поперечного сечения бруса при его растяжении (сжа­тии) и при изгибе или кручении. При растяжении (сжатии) площадь поперечного сечения бруса, являющаяся его геометрической харак­теристикой, полностью определяет сопротивление элемента растяже­нию (сжатию). Объясняется это тем, что при осевом растяжения или сжатии нормальные напряжения в сечениях центрально растя­нутого (сжатого) бруса распределяются равномерно. При неравно­мерном распределении напряжений по сечению бруса или балки, на­пример при изгибе, на их деформирование влияет не площадь по­перечного сечения, а его форма и, кроме того, положение осей поперечного сечения к направлению действия внешних сил.

Поэтому при расчете балок на изгиб в сопротивлении материалов возникает необходимость принять геометрические характеристики поперечного сечения элемента, называемые осевыми моментами инерции  или .

Порядок решения задач на определение момента инерции се­чения плоских фигур следующий:

1. Разбить данную фигуру на простые составные части (прямо­угольники, круги, треугольники и т. д.). Если в состав фигуры вхо­дит стандартный прокатный профиль, то последний не разбивается на части; положение его центра тяжести и площадь определяются по сортаментным таблицам (см. приложения). Простыми элемента­ми в этом случае будут: двутавр, швеллер, уголки, полоса. Если фигура имеет отверстие, то площади и моменты инерции этих отвер­стий считаются отрицательными.

2. Определить центр тяжести всей фигуры.

3. Через найденный центр тяжести сечения провести главные центральные оси. Для фигур, имеющих оси симметрии, главные оси совпадают с осями симметрии.

4. Через центры тяжести простых фигур провести собственные центральные оси инерции.

5. Определить расстояние между собственными главными осями каждой       простой фигуры и главными центральными осями сечения в целом. Нанести эти расстояния а на чертеж.

6. Определить моменты инерции составных частей относительно

собственных осей инерции , .

7. Определить моменты инерции сечения относительно главных центральных осей, используя формулу перехода на центральные оси;

.

Условие задачи. Найти главные центральные моменты инерции:

 а) сечения, составленного из профилей стандартного проката. Исходные данные взять из примера контрольной работы 1 задачи 4(а, б). Центры тяжести се­чений должны быть найдены и нанесены на чертеж сечения. Таким образом, решение задач 2а и 26 ведем с пункта 3 вышеприведенного описания.

Решение, а) На изображение заданного сечения, вычерченного в выбранном масштабе (рис. 15), наносим главные центральные оси. Ось у совмещаем с осью симметрии, ось х проводим перпендикуляр­но ей через центр тяжести С всей фигуры.

Рисунок 51

Через центры тяжести  простых фигур проводим собственные центральные оси инерции. Обозначим их соответствен­но . Собственные центральные оси совпадают с главной центральной осью.

Используя координаты центров тяжести частей фигуры, найденные при определении положения центра тяжести всей фигуры определим расстояния между главной центральной осью х и каждой из осей :

;

;

Используя формулу перехода на параллельные оси, определяем

. Числовые значения площадей отдельных фигур берем также из кон­трольной работы 1:

Момент инерции относительно главной центральной оси х опре­делим, суммируя моменты инерции составных частей фигуры;

Момент инерции относительно главной центральной оси у определяем следующим образом.

Поскольку у фигур I, II,.III собственные центральные оси совпадают с главной центральной осью инерции, расстояние между ося­ми равно нулю. Следовательно, главный центральный момент инер­ции каждой из этих фигур равен собственному моменту инерции:

Для четвертой фигуры расстояние между вертикальными осями  

Суммируя, получаем .

б) В составном сечении (рис. 51) через найденный центр тяжес­ти С проводим главные центральные оси инерции х и у. Ось х сов­мещена с осью симметрии сечения. Проводим собственные централь­ные оси инерции  каждой из составных частей.

Определим расстояния между собственными и главными цент­ральными осями инерции, используя абсциссы центров тяжести час­тей сечения, найденные при определении положения центра тяжести всего сечения.

 шв.№20 + листа =

Выпишем из таблиц сортамента (см. приложения 1—4) момен­ты инерции  и  прокатных профилей относительно собственных осей и их площади: двутавр № 20 =1840 см⁴; =115 см⁴;  =26,8 см²; швеллер № 20 =1520 см⁴; =113 см⁴; =23,4 см'; уголок 80х50х6  =14,8cм⁴;  =49cм⁴; =7,55cм².

Для уголка значения моментов инерции I_x и I_y поменялись местами, так как ориентация уголка (см. рис. 51) не совпадает с его ориентацией в ГОСТе. При пользовании таблицами ГОСТов не­обходимо внимательно следить за правильностью выбора требуе­мых характеристик, ни в коем случае не основываясь на формальном совпадении индексов; полоса 12х200

Определяем главный центральный момент инерции составного сечения относительно оси x.

Определяем главный центральный момент инерции составного сечения относительно оси у:

               

К задаче 3

Проверка несущей способности элементов конструкций — рас­чет, часто встречающийся в практике строителей. Для элементов конструкций, работающих на поперечный изгиб, проверка несущей способности по заданным размерам поперечного сечения осущест­вляется исходя из условия:

 — максимальный изгибающий момент от расчетных нагрузок снимается с эпюры моментов.

Условие задачи. Проверить несущую способность консольной балки. Материал—дерево. Расчетное сопротивление R=15 МПа. Сечение бруса 15х30 см, коэффициент перегрузки п=1,2, коэффи­циент условия работы m=1,1 (рис.52).

Решение. Начнем расчет с определения левой части неравен­ства. Для этого:

1) Определяем расчетную нагрузку:

Подсчитав расчетную нагрузку, составляем расчетную схему балки (рис52).

2) Ввиду того что балка консольного типа, можно, не опреде­ляя опорных реакций, сразу перейти к определению внутренних си­ловых факторов. Сначала определим поперечную силу и построим се эпюру. Рассматриваем балку ходом со свободного конца по харак­терным точкам:

 

 

Рисунок 52

По найденным значени­ям строим эпюру Qx (рис.52).Поскольку эпюра поперечных сил под рас­пределенной нагрузкой не пересекает нулевую линию, эпюру моментов на, этом участке можно строить, по двум точкам: начала и кон-па действия распределен­ной нагрузки.

Ход справа:

Изгибающий момент =80,16 кН.м возникает в опорном сече­нии. Переходим к определению правой части неравенства.

3) Определяем момент сопротивления Wx заданного сечения. Для прямоугольного сечения

                    

4. Подставляя все данные в неравенство, получаем, что расчет­ный изгибающий момент  Отсю­да следует, что несущая способность балки не обеспечена, необходи­мо уменьшить нагрузку либо взять балку большего поперечного се­чения.

К задаче 4

 

Условие задачи. Для двухопорной балки (рис. 53) подобрать сечение двутавра из условия прочности и жесткости. R=210 МПа,

=130 МПа, n=1,3; m=1,1. Модуль упругости  МПа. Предельно допустимый относительный прогиб . Построить эпюры нормальных и касательных напряжений для сечений с наибольшим изгибающим моментом и с наибольшей поперечной силой.

Решение.

1) Подбор сечения из условия прочности.

     Расчётная нагрузка кН/м. 

кН

Схема балки с рас­четной нагрузкой изобра­жена на рис. 53. Для рассматриваемой балки наибольший изгибающий момент в сечении посередине пролета. Определяем его как сумму мо­ментов от действия рав­номерно распределенной и сосредоточенной, нагрузок, используя готовые формулы:

        Строим эпюру моментов по трем точкам:

 (рис.53). Из условия прочности при изгибе

 

                            

определяем

 - требуемый момент сопротивления поперечного

сечения балки

 

                                    

 

Рисунок 53

По таблице сортамента принимаем двутавр № 24 =289 см³.

 

 

2. Подбор сечения из условия жесткости производим с помо­щью таблицы прогибов.

Второе предельное состояние конструкции характеризуется по­явлением чрезмерных прогибов и требует определенной жесткости, чтобы в условиях нормальной эксплуатации относительный прогиб f/l не превышал предел допустимого относительного прогиба   установленного строительными нормами (СНиП) для раз­личных конструкций и материалов.

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: