Компонентные и топологические уравнения

Законы Кирхгофа

Электрические процессы в цепях описываются компонентными и топологическими уравнениями.

Компонентные уравнения или уравнения ветвей – это математические модели ветвей, которые связывают ток и напряжение ветви через параметры элементов этой ветви по закону Ома:

.

Ветви электрической цепи делятся на вырожденные и невырожденные.

Невырожденные ветви устанавливают связь между током и напряжением и имеют две формы:

1. ;

2.

Для вырожденной ветви ток и напряжение не зависят друг от друга:

1. В ветви только источники напряжения:

u=e1 – e2+e3

 

2. Ветвь содержит источник тока

 

Топологические уравнения устанавливают связь между токами или напряжениями различных ветвей.

 Первый закон Кирхгофа:

алгебраическая сумма мгновенных значений токов всех ветвей, подключенных к каждому из узлов цепи, в любой момент времени равна нулю.

 Для каждого из узлов цепи может быть составлено уравнение баланса токов:

Коэффициент а_lk = 1, если k-я ветвь подключена к l-му узлу и ток ветви направлен от узла; а_lk = −1, если k-я ветвь подключена к l-му узлу и ток ветви направлен к узлу; а_lk = 0, если k -я ветвь не подключена к l-му узлу.

(1):

(0) i₁ + i₂ ― i₆ = 0.

Если записать , то закон можно сформулировать так:

сумма мгновенных значений токов, направленных к любому узлу цепи, в любой момент времени равна сумме токов, направленных от этого узла.

Второй закон Кирхгофа:

алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений всех ветвей, входящих в любой контур цепи, в каждый момент времени равна нулю.

Для каждого контура можно составить уравнение баланса напряжений ветвей:

k — номера ветвей; р — число ветвей;

n — номера контуров; N — число контуров.

b_lk = 1, если k-я ветвь входит в l-й контур и направление напряжения ветви совпадает с направлением обхода контура; b_lk = −1, если

k-я ветвь входит в l-й контур и направление ее напряжения противоположно направлению обхода контура; b_lk = 0, если k-я ветвь не входит в l-й контур.

1. – u₁ + u₂ = 0;

2. – u₂ + u₃ = 0;

Уравнения по второму закону Кирхгофа можно составить и для напряжений всех элементов, входящих в контур:

или

В общем виде:

Из этого может быть следующая формулировка второго закона Кирхгофа:

алгебраическая сумма мгновенных значений напряжения всех элементов любого контура моделирующей цепи, за исключением источников напряжения, в каждый момент времени равна алгебраической сумме мгновенных значений ЭДС источников напряжения, действующих в этом контуре.

Общее число уравнений баланса токов и напряжений равно сумме числа узлов и числа контуров исследуемой цепи. Однако, часть этих уравнений линейно зависима, т.е. могут быть получены одни из других.

 Определение числа линейно независимых уравнений осуществляется с помощью теории графов.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: