ПРИСКОРЕННЯ ТОЧОК ПЛОСКОЇ ФІГУРИ

Для визначення прискорень точок плоскої фігури існує два способи:

- спосіб полюса;

- спосіб МЦП.

СПОСІБ ПОЛЮСА аналогічний до такого ж способу при визначенні швидкостей точок плоскої фігури і полягає в тому, що прискорення будь-якої точки плоскої фігури дорівнює век­торній сумі прискорення полюса і прискорення даної точки при обертанні плоскої фігури навколо полюса

.                                                     (2.83)

Нагадаємо, що за полюс  А  вибираємо будь-яку точку плоскої фігури, прискорення якої відоме або легко визначається.

Оскільки траєкторією руху точки  В  при обертанні плоскої фігури навколо полюса  А  є коло радіуса  АВ, то прискорення  складається із векторної суми двох взаємно перпендикулярних прискорень - нормального і тангенціального

.                                                             (2.84)

Таким чином, при визначенні прискорення будь-якої точки плоскої фігури способом полюса необхідно скласти три вектори: вектор прискорення полюса і вектори нормального і тангенціаль­ного прискорень даної точки при обертанні фігури навколо по­люса:

.                                                        (2.85)

Модуль нормального прискорення визначається через мит­тєву кутову швидкість обертання плоскої фігури навколо полюса

,                                                                                  (2.86)

а модуль дотичного прискорення – через миттєве прискорення

.                                                                                    (2.87)

Задачі на визначення прискорень точок плоскої фігури спо­собом полюса розв'язуються або графічною побудовою, або ж проектуванням рівності (2.85) на декартові осі.

СПОСІБ М.Ц.П. Другим способом визначення прискорень точок плоскої фігури є спосіб миттєвого центра прискорень (МЦП). При визначенні швидкостей точок плоскої фігури ми бачили, що в кожну мить існує така точка  Р  площини, швид­кість якої дорівнює нулю. Аналогічно до цього неважко показати, що існує точка площини - так званий миттєвий центр прискорень , прискорення якої в дану мить дорівнює нулю. При цьому слід наголосити, що миттєвий центр швидкостей і мит­тєвий центр прискорень - це різні точки і співпадають вони лише у випадку, коли тіло мас нерухому точку (але то вже чисто обертальний рух).

Для визначення положення МЦП необхідно мати або прис­корення (модуль і напрям) будь-якої точки плоскої фігури та величини миттєвої кутової швидкості і миттєвого кутового прискорення (застосовується графо-аналітичний метод), або ж мати прискорення двох будь-яких точок плоскої фігури (засто­совується графічний метод).

ГРАФО-АНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД визначення положення МЦП. Нехай МЦП плоскої фігури існує (точка Q), і нехай нам відоме прискорення (модуль і напрям) будь-якої точки B (рис. 2.21). Вибираючи точку Q за полюс, маємо записати

 

 

Рис. 2.21.

,                                                           (2.88)

 

але оскільки прискорення , то

.                                                                                    (2.89)

Враховуючи вирази (2.86) та (2.87), модуль при­скорення точки  В  визначимо із формули

,                                                            (2.90)                         

де  і  - миттєва кутова швидкість і миттєве кутове приско­рення плоскої фігури,  Q В  - відстань від точки  В  до МЦП, яка визначається із рівності

.

З розділу про обертання тіла навколо нерухомої осі ми знаємо, що напрям вектора прискорення точки тіла при його обертанні визначається тангенсом кута   між вектором прискорення  і напрямом нормального прискорення :

.

Таким чином, для визначення положення МЦП графо-аналітичним методом ми робимо лише два кроки. Спочатку век­тор прискорення  (рис. 2.21) повертаємо на кут  в напрямі обертання фігури (при прискореному обертанні), або в протилежний бік (при сповільненому обертанні). Потім на цьому промені відкладаємо підрізок  BQ.

Знайшовши положення МЦП, можемо тепер визначити прискорення будь-якої іншої точки цієї плоскої фігури, наприклад, точки  А. Для цього (з'єднаємо точку  А  з точкою Q  і проведемо з точки  А  вектор під кутом  (рис. 2.21). Модуль прискорення точки  А  визначимо із відношення

.                                                              (2.91)

ГРАФІЧНИЙ МЕТОД визначення положення МЦП базується на тій властивості, що вектори прискорень будь-яких точок плоскої фігури утворюють в кожну мить один і той же кут  з відрізками, що з'єднують ці точки з МЦП. Переконаємося, що МЦП можна знайти геометрично, якщо відомі напрями і мо­дулі прискорень двох будь-яких точок плоскої фігури, наприклад  А  і  В. Між прискореннями цих двох точок існує зв'язок

,                                                      (2.92)

якщо за полюс вибрати точку А (можна і навпаки). З цього рівняння маємо

,                                                                     (2.93)

де  - прискорення точки В при обертанні плоскої фігури навколо полюса А.

 

 

Рис. 2.22.

 

Побудувавши в точці  В  вектори   і  (рис. 2.22), знайдемо прискорення . Оскільки напрям відрізка  АВ  складає з вектором  кут , то вимірявши цей кут, ви­користаємо його для визначення МЦП. Для цього із точок  А  і  В  проведемо промені під кутом  до векторів  і , які перетнуться в точці  Q. Це і є МЦП плоскої фігури в дану мить її руху.

СКЛАДНИЙ РУХ ТОЧКИ

У розділі "кінематика точки" ми вивчали рух точки відносно декартової системи координат, яка безумовно вважалась неру­хомою. Однак у дійсності не існує абсолютно нерухомих систем відліку, а є лише умовно нерухомі, адже в природі все рухається, бо рух - це спосіб існування матерії.

У більшості технічних задач системи координат, зв'язані з Землею (так звані геоцентричні системи), вважаються нерухо­мими. Але ці ж системи в розрахунках, пов'язаних із косміч­ними польотами, розглядаються як рухомі, а за нерухому прий­мається система, зв'язана з Сонцем (так звана геліоцентрична система).

У машинах і апаратах харчових виробництв, особливо в складних автоматах, у роботах-маніпуляторах досить часто до­водиться одночасно розглядати рух якогось фізичного об'єкта (матеріальної точки) відносно двох і більше систем координат, одна із яких рухається відносно іншої.

Простим і дуже наочним прикладом, що ілюструє необхід­ність двох систем координат, є рух пасажира по палубі рухо­мого корабля, за яким спостерігають з берега. Рух пасажира (точки) відносно спостерігача на березі буде складним, тобто складатиметься з руху корабля і власного руху пасажира від­носно корабля.

Якщо з берегом зв'язати нерухому систему координат, а з кораблем - рухому систему, то рух точки (пасажира) відносно нерухомої системи координат називатимемо абсолютним рухом , а рух відносно рухомої системи - відносним рухом . Рух рухо­ мої системи координат відносно нерухомої (корабля відносно берега) називається переносним рухом . Точніше кажучи, пере­носним рухом для даного пасажира буде рух того місця (точки) корабля, у якому пасажир перебуває в даний момент.

Швидкість і прискорення точки у складному русі також відповідно називаються абсолютною, відносною і переносною швидкістю та абсолютним, відносним і переносним прискорен­ням.

Оскільки основними задачами кінематики є визначення за­кону руху і встановлення залежностей між кінематичними характеристиками рухомого об'єкта, то спробуємо записати рівняння складного руху точки.

Нехай точка М рухається по поверхні рухомого тіла (або се­редовища) описуючи деяку криволінійну траєкторію (рис. 2.23). Виберемо нерухому декартову систему координат  і рухому систему координат , незмінно зв'язану з тілом (або середовищем).

З точки  до точки М прове­демо радіус-вектор , а з точки  рухомої системи координат - радіус-вектор . Рух точки  О  відносно нерухомої точки  будемо фіксувати радіусом-вектором . Очевидно, що в кожну мить спра­ведлива рівність

 

 

Рис. 2.23.

                                                             (2.94)

або

,                                                    (2.95)

яка є законом руху точки. Тут  - одиничні вектори рухомої системи координат,  - проекції радіуса-вектора  на рухомі осі.

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: