РІВНОВАГА ПРИ НАЯВНОСТІ СИЛ ТЕРТЯ

Із досвіду ми знаємо, що при спробі рухати одне тіло по поверхні другого в площині їх дотику виникає сила опору цьому рухові.

Припущення про в'язь у вигляді ідеально гладенької поверхні, яке ми розглядали раніше (див. "Типи в'язей") не відповідає реальній дійсності, тому що навіть при найретельнішій обробці контактуючих поверхонь залишається деяка шорсткість, яка обумовлює силу опору при відносному русі одного тіла по по­верхні іншого. Цю силу називають силою тертя ковзання (або сухим тертям).

Тертя ковзання вперше експериментально вивчав французський фізик Амонтон (1663-1705), який довів, що сила тертя у досить широких границях не залежить від площі контакту­ючих поверхонь. Закони тертя були сформульовані майже через сто років пізніше Кулоном (1736-1806) і тому тертя ковзання часто називають кулоновим.

Припущення про абсолютну твердість тіл у теоретичній ме­ханіці також не відповідає дійсності, оскільки досвід показує, що при контакті рухомих тіл (наприклад, при коченні колеса по дорозі) виникає опір цьому рухові, який називають тертям ко­чення.

Близьке по природі як до тертя ковзання, так і до тертя ко­чення, є тертя крутіння (або вертіння), яке виникає при загвин­чуванні, свердлінні і являє собою досить складний процес.

Вивчення рівноваги тіл з урахуванням сил опору звичайно зводиться до розгляду граничного положення рівноваги, коли сили тертя досягають свого найбільшого значення.

ТЕРТЯ КОВЗАННЯ

Величина сили сухого тертя  пропорційна степені шорст­кості контактуючих поверхонь (пари тертя) і нормальному тиску N (тобто силі, яка притискує поверхні тіл одна до одної):

.                                                                       (1.35)

Степінь шорсткості характеризується безрозмірним ко­ефіцієнтом тертя  f, що визначається експерименталь-но: або з допомогою динамометра, яким вимірюється сила тертя , або як тангенс кута нахилу поверхонь при граничній рівновазі (в мо­мент переходу тіла від спокою до руху).

На рис. 1.23а тіло перебуває у граничній рівновазі під дією чотирьох сил: вага тіла  урівноважується реакцією опорної поверхні , а сила натягу пружинного динамометра  — силою терти . Коефіцієнт тертя знайдемо так:

, або .                                                         (1.36)

 

 

Рис. 1.23.

На рис. 1.23б тіло вагою  лежить на похилій площині. Якщо цю силу ваги розкласти на дві взаємно перпендикулярні складові   і , то у випадку граничної рівноваги

,           а    .

Отже, коефіцієнт тертя

 або                                                      (1.37)

дорівнює тангенсу кута нахилу площини при граничній рівновагі.

Однак слід зауважити, що в обох цих експериментах ко­ефіцієнт тертя буде дещо завищений, тому що ми його визна­чали під час переходу тіла від спокою до руху. Але із досвіду пересування важких предметів нам добре відомо, що набагато важче зрушити тіло з місця, ніж потім пересувати його. Тобто, коефіцієнт тертя спокою більший за коефіцієнт тертя руху (статичний коефіцієнт тертя більший за динамічний).

Величина коефіцієнта тертя ковзання залежить від ма­теріалу поверхонь тертя та їх стану (ступеню обробки, темпера­тури, вологості) і знаходиться в границях 0 < f < 1. Наведемо значення коефіцієнта f для деяких пар тертя: сталь по льоду - 0,027; сталь по сталі — 0,15; шкіряний ремінь по чавуну — 0,28; дерево по дереві - 0,54-0,62.

ТЕРТЯ КОЧЕННЯ

Вище ми описали явище тертя ковзання, яке виникає при відносному переміщенні (ковзанні) одного тіла по поверхні другого. Розглянемо ще одне фізичне явище, яке носить назву "тертя ко­чення".

Якщо тверде тіло має форму колеса або катка і котиться по поверхні іншого тіла, то такий рух має виключати проковзу­вання у точці контакту. Тобто сила тертя ковзання повинна бути достатня для того, щоб не допустити проковзування одного тіла (катка) відносно іншого (дороги). Сила тертя ковзання у цьому випадку відіграє позитивну роль.

Якби каток і поверхня, по якій він котиться, були абсолютно твердими, то такий вид переміщення був би ідеальним і не ви­кликав би ніякого опору. Однак опір рухові катка при його ко­ченні все ж виникає, і спричиняється він деформацією катка чи поверхні, по якій каток котиться, або ж обома одночасно.

Для вивчення цього явища, яке називається тертям ко­чення, розглянемо кочення абсолютно твердого катка вагою  по поверхні, яка деформується (рис. 1.24). Крім ваги , на каток діють тяга , сила тертя ковзання  та вертикальна складова реакції поверхні . Система цих чо­тирьох сил утворює дві пари сил ( , ) та ( , ). Пара сил ( , ) створює обертальний момент у напрямі кочення катка, а пара сил ( , ) -обертальний мо­мент, що протидіє коченню. Мо­мент цари ( , ) характеризує мо­мент тертя кочення, який дорів­нює добутку нормального тиску на коефіцієнт тертя кочення , що являє собою плече пари:

.                                                                    (1.38)

Отже, коефіцієнт тертя кочення  є розмірною величиною (розмірність [м]) і характеризує величину деформації тіл.

Слід нагадати, що при коченні катка по горизонтальній пло­щині нормальний тиск дорівнює вазі тіла (N = Р), а у випадку кочення по площині, нахиленій піл кутом  до горизонту, нор­мальний тиск менший і залежить від кута нахилу (N = Р со s а).

 

 

Рис. 1.24.

ЦЕНТР ВАГИ

На кожну частинку твердого тіла діє сила земного тяжіння, пропорційна масі частинки і прискоренню вільного падіння . Всі ці сили направлені радіально до центру Землі, тобто перетинаються у цьому центрі. Але на практиці ми вважаємо, що сили ваги, які діють на частинки твердого тіла, паралельні між собою. Таке припущення не позначається на наших інженер­них розрахунках тому, що відстані між частинками тіл занадто малі в порівнянні з радіусом земної кулі, який становить близько = 6 400 кілометрів.

Сили ваги є розподіленими силами, тобто діють на всі точки об'єму тіла. Оскільки теоретична механіка оперує лише зосере­дженими силами, то розподілені сили ваги замінюємо рівнодійною силою, яка називається вагою тіла, а точка прикладання рівнодійної сил ваги називається центром ваги тіла.

Центр ваги тіла не змінює свого положення при вільному русі тіла у просторі. Ця властивість дозволяє експериментально визначати центр ваги неоднорідних плоских тіл складної кон­фігурації таким чином: достатньо підвісити тіло на нитці в будь якій його точці і побудувати продовження нитки в тілі (провести вертикаль), а потім підвісити тіло в іншій точці і теж побудувати її продовження. Точка перетину побудованих ліній є цен­тром ваги цього тіла. Центр ваги порожнистих тіл і тіл складної просторової форми може лежати поза межами тіла (наприклад, центр ваги обруча, пустотілого циліндра тощо).

Для аналітичного визначення положення центра ваги скори стаємося теоремою Варіньйона, яка стверджує, що момент рівнодійної сили дорівнює сумі моментів складових сил.

Доведемо справедливість цієї теореми на такому прикладі. Нехай на тіло в точках А і В діють дві паралельні сили  і , що мають рівнодійну (рис. 1.25)

 

Рис. 1.25.

.

Рівнодійна  прикладена в точці С , що ділить відстань між силами обернено пропорційно силам:

,                                                                     (1.39)

звідки . Момент рівнодійної сили  відносно деякої точки О дорівнює

,                                                                     (1.40)

або

.

Тут  - координата точки С. Оскільки із (1.39) маємо , то вираз в останній дужці цього напису дорівнює нулю, і ми одержимо

,                                                                (1.41)

що і потрібно було довести згідно з теоремою Варіньйона: момент рівнодійної Р дорівнює сумі моментів складових сил   і   .

Методом індукції від п до  n + 1 неважко покачати, що теорема Варіньйона справедлива для будь-якого числа сил, тобто

.                                                          (1.42)

Потрібно зауважити, що теорема Варіньйона справедлива не лише для системи паралельних сил ваги, але й для будь-якої си­стеми сил, яка має рівнодійну.

Із (1.42) знайдемо вираз для аналітичного визначення коор­динати центра ваги тіла по осі Ох:

.                                                                                               (1.43)

   Повертаючи тіло на чверть оберта так, щоб сили ваги части­нок тіла були паралельні іншій осі, одержимо аналогічні вирази для визначення двох інших координат центра ваги тіла

.                                                                 (1.44)

Для визначення положення центра ваги у векторній формі за допомогою радіуса-вектора   маємо записати

.                                                                                                 (1.45)

Таким чином, центром ваги тіла називається незмінно зв'язана з цим тілом точка, в якій прикладена рівнодійна сил ваги частинок даного тіла і координати якої визначаються формулами (1.43), (1.44) і.(1.45).

У випадку однорідних тіл вага   будь-якої k-ої частинки тіла пропорційна об'єму   цієї частинки, а вага всього тіла пропорційна об'єму V тіла:

,    a     .

Тут - вага одиниці об'єму.

Підставляючи ці значення   і   у формули для визначення координат центра ваги, ми бачимо, що спільний множник  в чисельнику і в знаменнику виноситься за знак суми і скорочується. У результаті одержимо формули для визначення центра ваги тіла як центра ваги об'ємів

.                                      (1.46)

Шляхом аналогічних міркувань легко встановити залежність між вагою однорідної пластинки і її площею S

,                                     (1.47)

а також між вагою однорідного тонкого стержня (лінії) і його довжиною L :

.                                     (1.48)

Додатково слід вказати деякі способи визначення положення центра ваги, які застосовуються в практиці:

- Спосіб симетрії. Якщо однорідне тіло має площину, вісь чи центр симетрії, то його центр ваги лежить відповідно на площині, на осі чи в центрі симетрії.

- Спосіб розбивання (поділу) на частини. Якщо тіло можна поділити на скінченну кількість таких частин, положення центра ваги яких відоме, то координати центра ваги всього тіла можна безпосередньо визначити із формул (1.43) і (1.44). Якщо ж тіло має  отвори (вирізи, порожнини), то в цих формулах вагу (об'єм, площу) отвору віднімаємо.

КІНЕМАТИКА

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: