РІВНОМІРНЕ І РІВНОЗМ I ННЕ ОБЕРТАННЯ ТІЛА НАВКОЛО ОСІ

При рівномірному обертанні тіла навколо осі швид­кість є сталою величиною . Переписавши цей вираз у вигляді  проінтегрувавши його, одержимо

або .                                                (2.51)

Тут С - стала інтегрування, яка дорівнює початковому куту по­вороту тіла .

Якщо обертання тіла навколо осі рівнозмінне, тобто якщо кутова швидкість обертання наростає або зменшується однаково за однакові проміжки масу, то можемо записати

.                                                                (2.52)

(2.53) (2.54) (2.55) (2.56)

Розділивши змінні у цьому рiвняннi i проiнтегрувавши його

,                                                         (2.53)

одержимо:

або .                                                (2.54)

Тут  - початкова кутова швидкість. Оскільки  , то можемо записати

,                                                             (2.55)

Інтегруючи, одержимо

.                                                           (2.56)

Тут  - початковий кут повороту тіла.

Таким чином, у випадку рівнозмінного обертання тіла для визначення кутової швидкості і кута повороту маємо формули:

.                                                     (2.57)

Ці формули аналогічні формулам (2.40), які визначають параметри рівнозмінного руху точки.

ШВИДКІСТЬ ТОЧОК ТІЛА, ЩО ОБЕРТАЄТЬСЯ НАВКОЛО ОСІ (ФОРМУЛА ЕЙЛЕРА)

Всі точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі, опи­сують навколо цієї осі концентричні кола відповідного радіуса. Розглянемо визначення кінематичних характеристик руху то­чок тіла (швидкість і прискорення) через характеристики обер­тального руху (кутову швидкість і кутове прискорення).

При повороті тіла на деякий кут будь-яка точка цього тіла, що знаходиться на відстані R від осі, описує дугу, довжина якої визначається з формули

,                                                                 (2.58)                                                         

де  - кут повороту тіла в радіанах (пригадаймо, що довжина дуги кола дорівнює ).

Згідно з натуральним способом визначення руху точки, мо­дуль її швидкості знаходиться як перша похідна по часу від ду­гової координати

                                                  (2.59)

або

.                                                                 (2.60)

Отже, швидкість будь-якої точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює добутку кутової швидкості на радіус R. Формула (2.60) називається формулою Ейлера для визначення швидкості будь-якої точки тіла при його обертанні.

Цю формулу можна представити у векторній формі як век­торний добуток двох векторів: вектора кутової швидкості  і радіус-вектора  точки.

Нехай рух точки М  твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі (рис. 2.11), визначається радіусом-вектором точки . Iз прямокутного трикутника ОСМ  радіус обертання  R  знай­демо як катет, що лежить навпроти кута , який утворюють вектор кутової швидкості   і радіус-вектор

.                                                          (2.61)

 

 

Рис. 2.11.

Підставивши значення R у формулу (2.60), для швидкості точки М матимемо вираз:

.                                                               (2.62)

Але вираз (2.62) являє собою запис модуля векторного добутку двох векторів  і :

.                                                                (2.63)

Таким чином, ми переконалися у тому, що для визначення швидкості точки М мо­жемо користуватися виразом

,                                                                          (2.64)

який називають формулою Ейлера у век­ торній формі .

Напрям вектора швидкості  визначається за правилом век­торного добутку двох векторів  і , згідно з яким вектор  перпендикулярний до площини, в якій лежать ці вектори і на­правлений у той бік, звідки поворот від першого вектора  до вектора  здійснюється проти годинникової стрілки.

Із цього правила виходить, що вектор швидкості будь-якої точки тіла, що обертається навколо осі, направлений по до­ тичній до кола, яке описує точка, в бік обертання тіла .

Зображуючи вектор швидкості на рисунку, потрібно пам'ятати, що дотичний до кола вектор швидкості є пер­ пендикулярний до радіуса кола R (рис. 2.11).

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: