Натуральний спосіб визначення руху точки

Натуральний спосіб розробив і широко використовував у своїх дослідженнях Леонард Ейлер (1707-1783). Він відріз­няється не тільки простотою, але й достатньою наочністю, а тому застосовується як при теоретичних дослідженнях криволінійного руху, так і при практичних розрахунках. Обов'язковою умовою для. застосування натурального способу є наперед відома траєкторія. Найчастіше це є коло радіуса R .

Для визначення положення точки М на дузі траєкторії потрібно вибрати початок відліку О та додатній і від'ємний напрями відліку дугової координати s (рис.2.4)

 

 

Рис. 2.4.

Тоді положення точки на траєкторії можемо визначити змінною з часом дуговою координатою

.                  (2.20)

Рівняння (2.20) є законом руху точки при натуральному способі визначення руху.

Швидкість руху точки визначається як похідна по часу від радіуса-вектора

    або    .                                                 (2.21)

Формула (2.21) містить ви­значення як модуля, так і напряму швидкості точки. Для визначення напряму вектора швидкості роз­глянемо рис. 2.5, із якого видно, що при прямуванні  модулі величин  і  стають майже рівними, тобто

як границя відношення довжини нескінченно малої хорди до довжини стягнутої нею дуги.

Напрям одиничного вектора збігається а напрямом до­тичної до траєкторії 

Рис. 2.5.

.

Отже, вектор  є одиничним вектором (ортом), дотичним до траєкторії точки. Повертаючись до виразу (2.21), можемо за­писати

.                                                                            (2.22)

Таким чином, при натуральному способі визначення руху швидкість точки за модулем дорівнює похідній по часу від ду­гової координати,

,

а за напрямом збігається з дотичною до дуги траєкторії.

Перейдемо до визначення прискорення точки як похідної від швидкості (2.22)

Диференціюючи, маємо: 

.                                                            (2.23)

Другий доданок у формулі (2.23) за модулем дорівнює другій похідній по часу від дугової координати   і збігається  з на­прямом вектора швидкості  у випадку прискореного руху точки та протилежний йому при сповільненому русі.

Вираз  у першому доданку формули (2.23) перетворимо таким чином:

.                                                          (2.24)

Оскільки одиничний орт  являє собою вектор зі сталим мо­дулем, то його похідна по скалярному аргументу  являє собою векторну величину, перпендикулярну до   і направлену до цен­тру кривизни траєкторії (тобто направлена по нормалі ). За модулем величина  обернена до радіуса кривизни траєкторії :

.

У результаті замість виразу (2.24) для похідної маємо такий вираз:

.                                                                     (2.25)            

Підставляючи (2.25) у формулу (2.23), а також враховуючи, , а , запишемо формулу для визначення прискорення точки:

.                                                                 (2.26)

Із формули (2.26) видно, що прискорення точки при натуральному способі визначення руху скла­дається  із суми двох взаємно перпендикулярних прискорень: прискорення, направленого по дотичній   до траєкторії, яке називається дотичним (або тангенціальним) і за модулем дорівнює       , та прискорення, ,  яке називається нормальним приско­ренням і направлене до центру кривизни траєкторії перпендикулярно до дотичного при­скорення (рис. 2.6).

 

 

Рис. 2.6.

Дві складові повного прискорення точки мають не лише аб­страктний, але й реальний фізичний вміст: тангенціальне при­ скорення характеризує зміну модуля швидкості з часом, а нормальне прискорення характеризує зміну напряму вектора швидкості.

Якщо точка рухається по прямій, то радіус кривизни   і нормальне прискорення дорівнює нулю. Тобто маємо за­пам'ятати, що нормальне прискорення виникає лише при кри­волінійному русі (коли вектор швидкості змінює свій напрям), а тангенціальне прискорення виникає лише при нерівномірному русі (коли змінюється модуль швидкості).

Формулу (2.26) часто записують у вигляді векторної суми двох прискорень

.                                                                        (2.27)

Тут мається на увазі, що .

Отже, маємо пам'ятати, що при натуральному способі визначення руху прискорення точки дорівнює векторній сумі тангенціального і нормального прискорень.

Оскільки вектори тангенціального і нормального прискорень взаємно перпендикулярні, то модуль повного прискорення точки знаходиться за теоремою Піфагора    

.                                                                    (2.28)

Напрям вектора повного прискорення  знайдемо черев тангенс кута   між вектором повного прискорення  і вектором нормального прискорення  (рис. 2.6):

.                                                                                                     (2.29)

Порівнюючи координатний і натуральний способи визначення руху точки, які найчастіше застосовуються при розв’язуванні задач механіки, доходимо висновку, що натураль­ний спосіб визначення руху точки, розроблений Леонардом Ейлером, менш громіздкий, більш наочний і найбільш повно ілюструє природу руху, а тому його часто називають "природним" способом..

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: