В. Выравнивание статистических графиков

   Неизвестная плотность вероятности F ( t ) является плавной и непрерывной кривой — функцией аргумента t. Гистограмма же  хотя и напоминает по форме функцию F ( t ), имеет вид ступенчатой ломаной кривой (рис. 16). Если повторить аналогичный опыт по набору новой серии подобных случайных величин Т= t_i в тех же условиях эксперимента и для такой же системы, то построенная вновь гистограмма не совпадет с ранее полученной, хотя она по-прежнему будет напоминать неизвестную плотность F ( t ).

 

Рис.16 Гистограмма данных примера

    Для того чтобы статистически согласовать гистограмму с плавной кривой F ( t ), производят статистическое выравнивание полученной ступенчатой кривой. Используя полученную гистограмму, производят соответствующий выбор некоторой функции , которая выравнивала бы гистограмму и с большой вероятностью приближалась бы по форме к неизвестной функции F ( t ). Другими словами, при выборе функции  требуется, чтобы она по вероятности совпадала с F ( t ), т. е.  F ( t ).

Статистическое выравнивание гистограммы производится в следующей последовательности:

—выбор одной из сглаживающих функций ,

· расчет неизвестных параметров для выбранной сглаживающей функции;

· расчет теоретических значений сглаживающей функции в фиксированных точках t = t_j ,

• построение графика сглаживающей функции;

• качественный вывод о справедливости допущения .

При выборе сглаживающей функции  стараются учесть особенности гистограммы и аналитическое выражение , которое должно быть несложным и удобным в инженерных расчетах. Полезно учитывать особенности и опыт работы системы, для которой оценивается закон F ( t ).

Анализируя гистограмму, изображенную на рис.16, можно выбрать простую функцию  в виде убывающей экспоненты, т. е.допустить, что

                                                               16

        При различных значениях параметров С₁ и С₂ имеется бесчисленное множество убывающих экспонент, среди которых надо выбрать только одну, обладающую свойствами плотности вероятности и особенностями полученной гистограммы. Следовательно, на выбираемую сглаживающую функцию (16) необходимо наложить определенные связи (требования). Число этих связей зависит от вида функции и количества, входящих в нее неизвестных параметров.

      Первая связь, которую необходимо наложить на функцию  за счет соответствующего подбора констант С₁ и С₂, называется нормирующим условием. Так как  должна быть плотностью вероятности и обладать нормирующим свойством, то необходимо выполнить первое условие: площадь под кривой в ( t ) должна быть равна единице, т. е.

                                                                     17

Отсюда имеем

                

следовательно,

              C₁ = C₂ = C

Значит, при выборе выравнивающей функции в виде убывающей экспоненты необходимо потребовать в первую очередь, чтобы эта экспонента зависела только от одного неизвестного параметра, т. е.

                                                                                       18

Пока не наложено определенное условие на константу С, можно выбрать любое значение этой константы и при этом всегда будет выполнено нормирующее условие. Однако при произвольном значении константы  будет плохо согласовываться с гистограммой.

Так как статистическая величина

                  

оценивает математическое ожидание T ₀ случайной величины Т (т. е. То = М{Т}), то на выравнивающую функцию необходимо наложить вторую связь, а именно

                                                        19

Реализуя это условие, получим

                                      ,                           20

Значит, величину параметра С нельзя брать произвольной, а необходимо ее рассчитывать из соотношения

                                  .      

Рассчитав по опытным данным величину  (для нашего примера Т₀ = 50 ч), окончательно полагаем, что только функция  вида

                                                                     21

будет согласовываться с данными эксперимента и обладать свойствами неизвестной плотности вероятности F ( t ).

   Таким образом, наложив две связи на выравнивающую функцию (запомним число связей s = 2), полагаем, что неизвестная искомая плотность вероятности F ( t ) имеет вид

                                               22

Задаваясь теперь любыми фиксированными значениями Т=t _j, легко рассчитать теоретические значения F( t = t_j ) и сравнивать их с опытными данными F _j *. График найденной функции F ( t ) обычно наносят на гистограмму и производят качественную оценку степени соответствия теоретического закона F ( t ) с опытными данными — гистограммой.

Так, например, анализируя графики гистограммы F _j * и расчетную кривую функции

F ( t ) =0,02е-^{002 t} (рис.16 ), можно сделать качественный вывод о том, что выбранная F ( t ) неплохо согласуется с данными эксперимента.

Для того чтобы иметь не качественную, а количественную оценку степени соответствия выбранной F ( t ) статистическим данным, необходимо произвести численную проверку согласия.

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: