Принцип двоїстості у просторі

Якщо справедливе твердження, у якому йде мова про точки, прямі, пл-ни та відношення між ними, то буде справедливим і твердження, яке отримується такою заміною слів:

Озн. Трьохвершинником наз. фігура, яка склад. з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох прямих, які з’єднують попарно ці точки.

Т. (Дезарга).Нех. задано два трьохвершинники, відповідні елементи яких не співпадають, тоді:

1.Якщо прямі, які з’єднують відповідні вершини 2-х трьохвер-шинників, проходять через одну точку, то відповідні сторони цих трьохвершинників перетин. в т., які лежать на одній прямій.

2. Якщо точки перетину відповідних сторін двох трьохвершин-ників лежать на одній прямій, то прямі, які проходять через відпо-відні вершини цих трьохвершинників, проходять через одну точку.

1. Дано:

Довести:

2. Дано:

Довести:

1. Дов.

Візьмемо репер

. Позначимо

Аналогічно: ,

Аналогічно:               

. Точки U,V,W лежать на одній прямій.

 

Рухи. Властивості рухів. Класифікація рухів. Рухи

Озн. Перетворення пл-ни наз. рухом, якщо воно зберігає відстань.

Найпростішим п-дом руху є тотожнє перетворення пл-ни, при якому кожна точка переходить сама в себе. Паралельне перенесення,симетрія відносно точки є рухами.

Озн.Впорядковану трійку точок, які не лежать на одній прямій наз. репером R=(A,B,C)

Т. При " русі репер переходить у репер. Зокрема ортонормова-ний репер переходить в ортонормований репер.

Т. Нех. R=(A,B,C) і Ŕ=(А´,В´,С´) – два " ортонормовані репери пл-ни. Тоді $! рух, який репер R переводить у репер . При цьому русі т. М переходить у т. ́ з тими ж коорд. в репері .

Вл-сті рухів.

1. Рух переводить пряму в пряму, при чому прямі в .

2. Рух переводить півпл-ну з границею а в півпл-ну з границею , де – образ прямої а.

3. Рух зберігає просте відношення 3-х точок.

4. Рух зберігає відношення “лежати між”.

5. Рух переводить у , де А´, В´– образи т. А, В. Причому середина переходить у середину .

6. Рух переводить промінь у промінь, а кут у кут.

7. Рух переводить кут у рівний йому кут.

8. Рух переводить взаємно прямі у взаємно прямі.

Рух задається парою реперів (2-ма с-ми координат). Репери  однаково орієнтовані (протилежно), якщо базиси  однаково орієнтовані (протилежно). Рух зберігає(міняє ) орієнтацію пл-ни, якщо " репер і його образ однаково орієнтовані (протилежно).

Т. " рух зберігає або міняє орієнтацію пл-ни.

Озн. Рух, який не змінює орієнтацію пл-ни наз. рухом Ι роду, а який міняє ІІ роду .

Т. Якщо аналітичний вигляд відображення  в ортонормова-ному репері має вигляд:  де – ортогональна матриця, то – рух. При цьому, якщо  то – рух Ι роду, а якщо  то – рух ІІ роду. Тут

Т. Щоб дане точкове відображення було рухом Û щоб його аналітичне задання в прямокутній декартовій с-мі коорд. мало вигляд: (1*)

Класифікація рухів

Т. пл-ни наз. інваріантною, якщо вона переходить в себе під час руху. Пряму пл-ни наз. інваріантною, якщо " її т. переходить в точку цієї ж прямої.

Назва руху	Інваріантні точки		Інваріантні прямі		Хар-чні числа	Аналітичне задання
І.Рух першого роду
1.Поворот на кут a а) Поворот на кут a≠0 і a≠±p	Центр повороту	нема			Комплексно спряжені числа
б) Тотожне перетворення (a=0)	" т. пл-ни	"пряма пл-ни
в) Центральна симетрія (a=±p)	Центр симет-рії	" пряма, яка проходить через центр симетрії
2.  перене сення на а) перене сення на	Нема	" пряма , яка				де  або  відмінне від нуля
б) Тотожне перетворення ( =0)	Будь-яка точка площини	Будь-яка пряма площини
ІІ. Рух другого роду
3. Осьова симетрія	Всі точки осі	Вісь симе-трії і будь-яка пряма, перпендикулярна до неї
4. Ковзна симетрія	Нема	Одна пряма				де .

Цю таблицю використовують для визначення типу руху, якщо його задано (1*) .Для цього досить знайти характеристичні числа перетворення і нерухомі точки.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: