Векторний добуток 2-х векторів. Геометр. Зміст векторного добутку.

Озн. Векторним добутком не колінеарних векторів  і  наз. Такий вектор , що

1)

2)  і

3) вектор напрямлений так, що ( ) права трійка.

Векторний добуток колінеарних векторів =0.

Векторний добуток векторів  і  познач.  або .

Теорема1. Які б не були вектори ,  і = .

Теорема. Для того, щоб вектори  і  були колінеарні , щоб .

Дов. Необхід. і  колінеарні . .

   Дост. .  - вектори спів напрямлені.

Теорема. Якщо вектори  і в ортонормованому базисі мають коорд. , , то вектор  має коорд.:

(**).

Дов. Нехай x , y , z- коорд. вектора . Тоді

= , тому = . За теор.1 =  x = . Аналог. одерж.: y = , z = . Тоді згідно формули для обчислення зм. добутку будемо мати:

, ,  

.

Тобто = =    (*).

Вл-ті вект. добутку:

Для -х векторів , і  і для -го  справедливі рівності:

1. =

2. ,

3. . , .

Дов. Виберемо ортонормований правий базис  і задамо дані вектори в координатах , , . Використовуючи формулу (*) довод. вл-ті.

Вл-ть 3. .

Задамо дані вектори в координатах   ( x , y , z ), , .

За формулою (**) одерж., що .

Аналог. одерж. , . Отже, дана вл. справедлива.

Лема Для -х векторів  і  справедл. рівність = .

Геометр. зміст.

Площа паралелограма побудованого на векторах  і  чисельно = модулю векторного добутку .

.

 

*** 21.Застосування похідної до дослідження ф-ції на монотонність і знаходження екстремуму.  Монотонність і похідна

Т.1. (Достатня умова строгої монотонності ф-ції на проміжку)

Нехай , диференційована на . Якщо ↗ на .

Доведення. Візьмемо

 

  a        x₁               c                x₂               b

Застосуємо до і ф-ції т. Лагранжа (умови її виконуються), будемо мати:

P . S . Аналогічна теорема з очевидними змінами буде справедлива і для монотонного спадання:

Т.2................................................. (доведення аналогічне)

Очевидно, що теореми обернені до тільки що розглянутих будуть невірними.

П-д: , яка ↗ на , але умова  не виконується в т.x =0. Там .

Критерії нестрогої монотонності ф-ції на інтервалі:

Т.3. Нехай , диференційована на . Для того щоб  була ⇟ на ⇔, щоб

■ Доведення: Необхідність

(Достатність доводиться так само, як і в Т.1)

Візьмемо  тоді матимемо, що:

■ Аналогічною є теорема для монотонного не спадання:

Т.4.........................

Критерії строгої монотонності.

Т.5. Для того, щоб була ↗ на ⇔, щоб:

1)

2) Ніякі точки з , в яких  не утворювали б відрізка.

■ Доведення: Необхідність

Нехай  ↗ на , значить ⇟, а тому за Т.3

Покажемо, що 2) виконується.

Прип., що вона не виконується. Тобто ,а звідси за наслідком із т. Лагранжа ⇒ , , тому , що неможливо, бо  і  ↗ .Суперечність.

Достатність

Нехай виконуються умови 1), 2).

З 1) ⇒, що ⇟ на . Прип., що  не буде ↗, тобто , звідси, і з того, що ⇟ маємо, що  на , тобто  на  а це протирічить умові теореми. Суперечність. ■

Аналогічною є теорема про строге спадання ф-ції:

Т.6................................

P . S . В умовах 2-х останніх теорем вимагається диференційовність ф-ції на . Ці теореми повністю вирішують проблему монотонності диф. на проміжку ф-ції. З допомогою похідної виріш. проблема екстремальних точок.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: